1. Тізбекше мен дербес шектің анықтамалары.

тізбегі берілсін.

(1)

теңсіздіктерін қанағаттандыратын оң бүтін сандар тізбегін қарастырайық (әрине болады).

Егер әрбір оң бүтін санына санын сәйкес қойсақ, бұл тәуелділік тізбек болады. Сол тізбек тізбегінің тізбекшесі деп аталады да, символымен белгіленеді.

2. Больцано – Вейерштрасс теоремасы.

Теорема. Кез келген тізбектен кемінде бір ақырлы, әлде ақырсыз шегі бар болатын тізбекше бөліп алуға болады.

3. Тізбектің шегі бар болуының критерийі.

Теорема. тізбегінің шегі бар болуы үшін теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

1 – салдар. тізбегінің шегі жоқ болуы үшін

теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

2 – салдар. Егер тізбегінің екі өзге дербес шектері табылса, онда оның шегі жоқ болады.

4 Дәріс

Тақырыбы: Функция ұғымы және оның берілу тәсілдері.

Жиындар. Нақты сандар жиыны.

мен нақты сандар жиыны болсын. Әрбір санына жиынының санын сәйкес қоятын ережесі жиынында берілген санды функция деп аталады және ол

немесе

деп жазылады.  функцияның анықталу жиыны ал  функцияның мәндер жиыны деп аталады.  аргумент немесе тәуелсіз айнымалы, ал аргументтің белгілі бір мәніне сәйкес келетін саны  нүктесіндегі функция мәні деп аталады және оны кейде арқылы да белгілейді.

Функция ұғымы қарастырылған санды функциялармен ғана шектелмейді. мен  кез келген жиындар болсын.

Анықтама. Әрбір элементіне жалғыз элементін сәйкестендіретін ереже жиынында анықталған функция деп аталады.  оның мәндер жиыны, ал - функцияның анықталу жиыны деп атайды.

Санды функцияларды түрлі әдістермен беруге болады.

1⁰. Кестелік. Функция кесте түрінде берілуі мүмкін.

Бұл тәсіл функцияны толық сипаттай алмайды өйткені кестеге функцияның анықталу жиынындағы барлық нүктелерді кіргізу мүмкін емес.

2⁰. Графиктік тәсіл. жазықтығының және болатын нүктелер жиынын функциясының графигі деп аталады. График функцияның геометриялық бейнесі. Ол арқылы функцияның өзгеру тәртібін анықтауға болады.

3⁰. Аналитикалық тәсіл. Мұнда формула көмегімен аргументінің әрбір мәні үшін функциясының сәйкес келетін мәнін есептеу алгоритмі нақты көрсетіледі. Бұл жағдайда әдетте функцияның анықталу жиыны деп осы берілген формуланың мағынасы бар болатын аргументінің барлық мәндерінен тұратын жиынды атайды.

Анықтама. функциясы мәндеріне шарты орындалатындай мәндерді сәйкестендіретін функция болсын, яғни функцияның әрбір мәні тек қана бір нүктеде қабылданады, онда әрбір санына болатындай белгілі бір саны сәйкес қойылуы мүмкін. Осылай анықталған жаңа функция берілген функциясына кері функция деп аталады.

Анықтама. және функциялары беріліп кірістіруі орындалсын. Онда әрбір элементіне бойынша сәйкес келетін элементіне g ережесін қолданудың нәтижесін сәйкес қоятын ереже, және g функцияларының композициясы немесе күрделі функциясы деп аталады да, немесе символдарымен белгіленеді.

Анықтама. Егер функциясының анықталу жиыны симметриялы жиын болып және әрбір х үшін

, (

болса, онда функциясын жұп (тақ) дейді.

Анықтама. Егер барлық , және белгілі бір үшін болса, онда функциясы периодты функция деп аталады, ал санын оның периоды деп атайды.

Анықтама. Егер болатын сандары үшін:

орындалса онда кемімейтін,

орындалса онда өспейтін,

орындалса онда  өспелі,

орындалса онда  кемімелі

функциялар деп аталады.

жиынында осы төрт қасиеттің тек біріне ғана ие болатын функцияны  жиынында монотонды деп атайды.

5-Дәріс

Тақырыбы: Функцияның шегі. Ойылған маңай, шектік нүкте. Біржақты шектер. Бірінші тамаша шек. Екінші тамаша шек.

Анықтама. нүктесі Х жиынының шектік нүктесі деп айтылады, егер , , шарттары орындалатын тізбегі табылса.

функциясы Х жиынында анықталып, нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын.

Анықтама (функция шегінің « » тіліндегі анықтамасы). Егер кез келген саны үшін функциясының анықталу жиынында жататын және

теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық х сандары үшін теңсіздігі орындалатын саны табылса онда функциясының х -ға ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар, және ол А санына тең дейді де

символдарымен белгілейді.

Берілген анықтамадан функциясы а нүктесінде анықталған ба, жоқ па, функциясының а нүктесіндегі шегіне ешқандай әсер етпейтінін көреміз.

Анықтама. Егер кез келген саны үшін

теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық х үшін

теңсіздігі орындалатындай саны табылса онда саны функциясының нүктесіндегі оң жақты (сол жақты) шегі деп аталады да

; , ,

символдарының бірімен белгіленеді.

Теорема. функциясының а нүктесінде шегі бар болуы пен шектері бар және олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.

Егер онда .

Анықтама (функцияның шегінің «тізбектер» тіліндегі анықтамасы). Егер шартын қанағаттандыратын санына жинақталатын әрбір тізбегіне сәйкес келетін тізбегінің шегі бар және ол санына тең болса онда саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, да

 немесе

символдарымен белгілейді.

Функциялардың шектері жөніндегі негізгі теоремалар.

Теорема 1. -ға ұмтылғанда және функцияларының нақты мәнді шектері бар болсын, яғни , теңдіктері орындалсын, онда:

1) .

2) .

3) .

Теорема 2. -ға ұмтылғанда және функцияларының нақты мәнді шектері бар болсын. Яғни , теңдіктері орындалсын, егер болса, онда

;

(бұл теоремалар болғанда да орындалады).

Егер осы теоремалардың шарттары орындалмаса, онда , , , түріндегі анықталмаған өрнектер пайда болады. Онда берілген функциясының шегі жоқ әлде бар ма, бар болса мәні қандай болатынын алдын ала білуге болмайды, оны анықтау керек болады. Осы мәселе анықталмағандықты ашу деп аталады.

Теорема 3 (күрделі функцияның шегі туралы теорема). Егер , болса, онда .

Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар

Анықтама. Егер  онда функциясы ға ұмтылғанда шексіз аз (ш.а.) шама деп аталады.

Теорема 1. теңдігі орындалуы үшін ( -ға ұмтылғанда шексіз аз шама) теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті. Сонымен

Теорема 2. Егер шексіз аз шамалар болса онда олардың қосындысы мен көбейтіндісі шексіз аз болады.

Теорема 3. шексіз аз шама және шенелген функцияның көбейтіндісі шексіз аз болады, яғни - шексіз аз шама.

Анықтама. Егер әрбір саны арқылы теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін

теңсіздігі орындалатындай саны бар болса онда функциясы шексіз үлкен шама немесе қысқаша шексіз үлкен деп аталады да

немесе

символдарымен белгіленеді.

Теорема 4. Егер  нүктесінің белгілі бір маңайында және болса, онда .

Теорема 5. Егер болса, онда , .

Теорема 6. ұмтылғанда бірдей таңбалы шексіз үлкен функциялардың қосындысы (осы таңбамен алынған) шексіз үлкен болады

Теорема 7. ұмтылғанда шексіз үлкен функциясы мен нүктесінің маңайында шенелген функция қосындысы ұмтылғанда шексіз үлкен функция болады.

Шексіз аз шамаларды салыстыру

Екі шексіз аз шамаларды , салыстыру үшін олардың бөліндісінің шегін табамыз:

, (3)

1) егер , онда және реті бірдей шексіз аз шамалар.

2) егер , онда функциясы функциясына салыстырғанда кішкене болу реті жоғары деп аталады да

, (4)

символымен белгіленеді және ұмтылғанда функциясын функциясымен салыстырғанда о кішкене деп аталады.

3) егер , яғни

, (5)

онда ( -ға ұмтылғанда және функцияларын эквивалентті, асимптоталық тең дейді де, ~ символымен белгілейді).

Екі тамаша шек

Жиі пайдаланатын екі тамаша шекті келтірейік:

1⁰. (бірінші тамаша шек), (6)

2⁰. немесе (7)

, (екінші тамаша шек) (8)

Функцияның шегін тапқанда басқа да маңызды шектерді қолданады:

1)

2) .

3)

4) .

5) .

6-Дәріс

Тақырыбы. Үзіліссіз функциялар. Больцано-Коши, Вейерштрасс теоремалары. Бірқалыпты үзіліссіздік.

Анықтама. санынан айырымының абсолют шамасы -нан кіші сандардан құрылған жиынын нүктесінің - маңайы деп атайды, және

.

Анықтама. f функициясы нүктесінің белгілі бір маңайында анықталсын. Егер

(1),

онда f функициясын нүктесінде үзіліссіз дейді.

Шектің анықтамасын қолданып үзіліссіздіктің келесі анықтамасына келеміз.

Анықтама. Егер әрбір үшін теңсіздігін қанағаттандыратын және f функицясының анықталу жиынынан алынған барлық х сандарына теңсіздігі орындалатын саны табылса, онда f функицясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

(1) теңдікті болғандықтан деп те жазуға болады. Бұдан үзіліссіз функция белгісінің астына шекке өтуге болатынын көреміз.

Анықтама. f функицясы белгілі бір үшін жиынында анықталған болсын. Егер болса, онда функциясы нүктесінде оң жақты үзіліссіз деп аталады.

Анықтама. f функциясы белгілі бір үшін жиынында анықталған болсын. Егер болса, онда функциясы нүктесінде сол жақты үзіліссіз деп аталады.

Теорема 1. Егер және функциялары - нүктесінде үзіліссіз болса , онда

функциялары, ал , онда функциясы нүктесінде үзіліссіз болады.

Теорема 2. (күрделі функцияның үзіліссіздігі). Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз және , ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, онда күрделі функция - нүктесінде үзіліссіз болады.

Үзіліс нүктелері және олардың түрлері

функциясы нүктесінде және оның белгілі бір маңайында анықталған, сонымен бірге мен шектері бар және

(2)

теңдіктері орындалса, онда функциясы нүктесінде үзіліссіз функция болады.

Анықтама. Егер )=A, )=B, A B болса, онда х=а нүктесі бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

Егер , шектері бар, бірақ (2) теңдіктердің кемінде біреуі орындалмаса, онда функциясы нүктесінде бірінші текті үзілісті функция деп аталады.

Егер , біржақты шектерінің ең болмағанда біреуі жоқ болса немесе шексіздікке тең болса, онда нүктесі екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

7-Дәріс

Тақырыбы: Аралықта анықталған үзіліссіз функциялардың қасиеттері.

Больцано – Коши теоремасы. Егер функциясы аралығында үзілізссіз болса, онда функциясының кез келген екі мәнінің арасында жатқан әрбір нақты сан да сол функцияның мәні болады.

Бұл теорема келесі леммадан оңай шығады:

Лемма. функциясы сегментінде анықталған және үзіліссіз болсын. Егер

(1)

болса, онда интервалында теңдігін қанағаттандыратын кемінде бір саны табылады. (Н. Темірғалиев, «Математикалық анализ» том 1 , 188 б)

Вейерштрасс теоремалары.

Вейерштрасстың бірінші теоремасы. Егер функциясы сегментінде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның мәндер жиыны шенелген жиын болады.

Вейерштарсстың екінші теоремасы. Егер функциясы сегментінде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның ең үлкен және ең кіші мәндері бар болады. (Н. Темірғалиев, «Математикалық анализ» том 1 , 190 б)

Үзіліссіздің бірқалыптылығы. Кантор теоремасы.

функциясы жиынында анықталған болсын. Егер әрбір саны бойынша теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген және сандары үшін теңсіздігі орындалатын оң саны табылса, онда функциясы жиынындағы үзіліссіздігі бірқалыпты немесе функциясы жиынында бірқалыпты үзіліссіз дейді.

функциясы интервалында үзіліссіз, бірақ бірқалыпты үзіліссіз емес.

болып, оң саны берілсін. Онда және болғанда

болады, демек, функциясы интервалында бірқалыпты үзіліссіз емес.

Кантор теоремасы. Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда ол сол сегментте бірқалыпты үзіліссіз болады. (Н. Темірғалиев, «Математикалық анализ» том 1 , 193 б)

8-Дәріс

Тақырыбы: Туынды, оның физикалық және геометриялық мағынасы. Туындысы бар болатын функцияның үзіліссіздігі. Дифференциалдау ережелері Элементар

функцияларды дифференциалдау.

функциясы нүктесінде және оның қандайда бір маңайында анықталған функция болсын. - нүктесіндегі аргумент өсімшесі , ал оған сәйкес келетін функция өсімшесі:

арқылы белгіленсін.

Анықтама. Егер нақты мәнді шегі бар болса, онда шектің мәнін функциясының - нүктесіндегі туындысы дейді де

символдарының бірімен белгіленеді.

Сонымен,

(1)

немесе

Егер (1) - шек немесе болса, онда функциясының - нүктесінде ақырсыз туындысы бар дейді.

Егер (1) - теңдіктегі шек немесе жағдайында қарастырылса, онда шек (егер ол бар болса) функциясының нүктесіндегі оң жақты туындысы, ал немесе жағдайында қарастырылса, онда сол жақты туындысы деп аталады да, олар сәйкес символдары арқылы белгіленеді.

Функцияның нүктесінде туындысы бар болуы үшін:

1) ; 2) шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Онда

. (2)

Теорема. Егер функциясының нүктесінде ақырлы туындысы бар болса, онда функциясы осы - нүктесінде үзіліссіз болады.

Ескерту. Функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның бір жақты ақырлы туындылары болмауы да мүмкін. Мысал ретінде мынадай функцияны қарастырайық:

, ,

Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болғанымен, ол нүктеде функцияның туындысы болмауы мүмкін екен.

Салдар. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктеде - тің ақырлы туындысы болмайды.

Туындының механикалық және геометриялық мағынасы

Лездік жылдамдық. материялық нүктенің түзудегі қозғалысының заңдылығын өрнектейтін функция болсын.

уақытқа дейін материялық нүкте , ал уақытқа дейін жол жүреді. Сондықтан -ден уақытқа дейін ол - жол жүреді. Бұл жолды қозғалыс уақыты -ға бөліп, қозғалыстың -ден -ға дейінгі уақыт аралығындағы орташа жылдамдығын табамыз:

.

Бұл жылдамдықтың жағдайдағы шегі (егер бар болса) қозғалыстың уақыт кезеңіндегі лездік жылдамдығы деп аталады:

туынды материялық нүктенің мезгіліндегі жылдамдығы болады.

Жанама туралы есеп. аралығында үзіліссіз функциясы берілсін. Оның - графигінен нүктесін белгілеп (1-2 суреттер) осы нүктедегі қисыққа жүргізілген жанаманы анықтайық. Ол үшін - қисығынан басқа нүктесін аламыз (1 - суретте , ал 2 - суретте жағдайы көрсетілген). мен нүктелері арқылы өтетін, - тің өсу жағына қарай бағытталған түзуін қиюшы деп атаймыз. Оның - өсінің оң бағытымен арасындағы бұрышын деп белгілейік және

.

Егер , онда және В нүктесі қисығы бойымен - нүктесіне ұмтылады. Осыдан бұрышы қандайда бір мәніне ұмтылса, онда

шегі бар және ол функциясының нүктесіндегі туындысына тең:

.

Керісінше, егер туындысы бар болса, онда .

Анықтама. - қисығының нүктесіндегі жанамасы деп және нүктелері арқылы өтетін ( - тің өсу жағына қарай бағытталған) - қиюшының ұмтылатын - түзуін айтады.

Аналитикалық геометриядан нүктесі арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті , болатын түзу теңдеуі

түрінде жазылатыны белгілі. Олай болса, қисығының нүктесіндегі жанама теңдеуі

(3)

түрінде, ал нүктедегі нормаль теңдеуі.

(4)

түрінде жазылады.

9 -Дәріс

Тақырыбы: Функция дифференциалы. Дифференциалдың геометриялық мағынасы. Күрделі, кері және параметрлік түрде, айқындалмаған түрде берілген функцияларды дифференциалдау.

Функция дифференциалы

Анықтама. Егер функциясының - нүктесіндегі - өсімшесі (5) түрінде жазылатын болса, онда берілген функциясы - нүктесінде дифференциалданады дейді ( -ке тәуелді емес, бірақ - ке тәуелді).

Теорема. функциясы - нүктесінде дифференциалданатын функция болу үшін - нүктесінде функцияның ақырлы туындысының болуы қажетті және жеткілікті, теңдіктегі бірінші қосылғыш -ке пропорционал және оған сызықты тәуелді, ал екінші қосылғыш , - ке салыстырғанда кішкене болу реті жоғары шексіз аз шама , яғни жағдайда екінші қосылғыш қарағанда жылдамырақ нөлге ұмтылады. Осыған байланысты шамасын функция өсімшесінің бас мүшесі дейді және ол функцияның дифференциалы деп аталады да арқылы белгіленеді.

Сонымен, .

Егер -нүктесінде дифференциалданатын функциялар болса, онда ; ; , - тұрақты сан ; . теңдіктен немесе:

,

жуық теңдігін жазуға болады және оны жуықтап есептеулерге қолданылады.

10-Дәріс

Тақырыбы: Жоғарғы ретті туындылыр. Лейбниц формуласы. Функцияның жоғарғы ретті туындылары және дифференциялдары.

Жоғары ретті туындылар. функцияның аралығында туындысы бар болса, онда белгілі функция болады. Өз кезегінде бірінші туындының да аралығында туындысы болуы мүмкін. Бұл жағдайда оны функциясының екінші ретті туындысы дейді және немесе арқылы белгілейді.

Жалпы - тің ретті туындысының туындысы функцияның - ші ретті туындысы деп атайды да

немесе

деп белгілейді. - рет дифференциалданатын және функцияларының қосындысы мен көбейтіндісі үшін келесі дифференциалдау ережесі орындалады:

1. ;

Лейбниц формуласы:

Мұнда . Бұл теңдіктерді математикалық индукция әдісін пайдаланып дәлелдеуге болады.

Жоғары ретті дифференциал. f(x) аралығында -рет дифференциалданатын функция, -тәуелсіз айнымалы. Онда функциясының нүктесіндегі бірінші дифференциалынан алынған дифференциал функциясының екінші дифференциалы деп аталады да арқылы белгіленеді, және

тең

функциясының - ретті дифференциалы деп функциясының - ретті дифференциалының дифференциалын айтады және оны келесі түрде белгілейді.

– ші ретті дифференциал үшін

теңдігі орындалады. – ші ретті дифференциалдар үшін келесі ережелер орындалады:

1)

2)

11-Дәріс

Тақырыбы: Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары

1. Ферма теоремасы. Егер функциясы локальді экстремум нүктесі болып, сол нүктеде -тің ақырлы туындысы бар болса, онда сол туындының мәні нольге тең болады.

2. Ролль теоремасы. функциясы сегментінде үзіліссіз болып, интервалында дифференциалдансын. Егер сегменттің шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндері өзара тең болса, яғни теңдігі орындалса, онда шартын қанағаттандыратын кемінде бір саны табылады.

3. Коши теоремасы. Егер және функциялары сегментінде үзіліссіз болып, интервалында дифференциалданса, онда

теңдігі орындалатын кемінде бір нүктесі бар болады.

4. Лагранж теоремасы. Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болып, интервалында дифференциалданса, онда

теңдігі орындалатын кемінде бір нүктесі бар болады.

12-Дәріс

Тақырыбы: Анықталмағандықты ашу. Лопиталь ережесі.

Лопиталь ережесі және т.б. анықталмаған өрнектердің шегін функциялардың туындыларының қатынасының шегі арқылы есептеуге әкеледі.

Теорема (Лопиталь ережесі). пен нүктесінің маңайында ( – нүктесі алынып тасталуы да мүмкін) анықталған, дифференциалданатын және (немесе ), – нүктесінің маңайында шарттары орындалатын функциялар болсын. Онда егер шегі бар болса, онда шегі де бар және

.

теңдігі орындалады.

Егер өрнегі де түріндегі анықталмағандық болып функциялары теорема шартын қанағаттандырса, онда

түріндегі анықталмағандықтар алгебралық түрлендірулер арқылы немесе анықталмағандығына келтіріледі.

а) aнықталмағандығын

түрлендіруі , ал түрлендіруі түріне әкеледі.

б) анықталмағандықтарын түрлендірулер арқылы түріне - жағдайына келтіруге болады.

в) анықталмағандығын түріне келтіруге болады.

13- Дәріс

Тақырыбы: Тейлор формуласы

функциясы І аралығындаанықталып, нүктесінде туындыларыбар болсын. функциясын жуықтау құралы ретінде сәйкес туындылары функциясының нүктесіндегі туындыларымен беттесетін дәрежелі көпмүшелікті, яғни

көпмүшелігін алайық. Ол функциясының нүктесіндегі Тейлор көпмүшелігі деп аталады.

Егер функциясы дәрежелі көпмүшелік болса, онда әрбір үшін (бұл алдыңғы пунктте дәлелденген еді).

Басқа жағдайларда ондай теңдік орындалмауы мүмкін, демек қателік немесе қалдық мүше деп аталатын

функциясын қарауымыз қажетті.

функциясының анықтамасынан шығатын

формуласын Тейлор формуласы деп атайды.

болғанда, Тейлор формуласы мына түрге келеді:

Кейбір негізгі элементтар функциялардың Тейлор формуласымен жіктелуі.

Тейлор формуласын жуықтап есептеуге қолданады.

Мысалы, е санын 0,001 дәлдігімен есептеу керек.

,

Тейлор формуласында тең деп аламыз,

, онда және қалдық мүше <0.001, деп алсақ, онда

Сонымен,

14-Дәріс

Тақырыбы: Функцияны туындының көмегімен зерттеу. Дифференциалданатын функцияның тұрақтылығы. өсуі және кемуі. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері. Локальды экстремум. Функцияның экстремумдары.

Анықтама. Егер нүктесінің белгілі бір - маңайында:

, (1)

(сәйкес , ). (2)

теңсіздіктері орындалса, онда -ді функциясының локальді максимум (локальді минимум) нүктесі деп атайды.

Егер (1) және (2) шарттарды

,

(сәйкес ),

шарттарымен ауыстырсақ онда – локальді қатаң максимум (сәйкес локальді қатаң минимум) нүктесі деп аталады.

Анықтама. Егер нүктесінде функиясы үзіліссіз және немесе туындысы болмайтын болса онда нүктесі функциясының кризистік немесе күдікті нүктесі деп аталады.

Теорема-1 (экстремумның жеткілікті шарты). функциясы кесіндісінде үзіліссіз және мен аралықтарда дифференциалданатын болсын.

Егер мен аралықтарында туындысының таңбалары қарамақарсы болса онда экстремум нүктесі. Атап айтқанда:

1. егер  ал , болса онда локальді максимум;

б) егер  ал болса онда  локальді минимум нүктесі;

в) және аралықтарында таңбасы бірдей болса онда  нүктесінде локальді экстремум жоқ.

Теорема-2. фунциясының нүктесінде екінші туындысы бар және болсын. Онда

1) егер болса онда локальді минимум;

2) егер болса онда локальді максимум;

3) егер болса онда нүктесі экстремум нүктесі болуы да болмауы да мүмкін.

кесіндісінде үзіліссіз функциясының ең үлкен (ең кіші) мәнін табу керек болсын. Оның қандай да бір нүктесінде болатыны белгілі.

Ендеше тек келесі үш жағдай болуы мүмкін:

1.  2) 3)

Егер болса онда  локальді экстремум нүктесі екені түсінікті.

Егер - күдікті нүктелер, онда

(3)

15-Дәріс

Тақырыбы: Дөңес функциялар. Асимптоталар. Ойыс-дөңестік. Функцияны туындының көмегімен толық зерттеп, графигін тұрғызу.

Функцияның дөңестігі. Иілу нүктелері

функциясы – аралығында берілсін.

Анықтама. Егер – тің графигінің кез келген және екі нүктесінің арасындағы доға осы доғаны керетін хордадан жоғары жатпаса онда – функциясы аралығында дөңестігі төмен бағытталған қысқаша ойыс функция деп аталады (3сурет).

Егер функциясы аралығында ойыс болса онда – функциясы аралығында дөңестігі жоғары бағытталған қысқаша дөңес функция деп аталады (4сурет). Әрине ойыс функция болса онда дөңес болады.

Т еорема-1. Егер функциясының аралығында туындысы бар болса, онда ойыс (дөңес) функция болу үшін функциясы аралығында кемімейтін (өспейтін) функция болуы қажетті және жеткілікті.

функциясының аралығында екінші ретті туындысы бар болса, онда функциясы аралығында кемімейтін (өспейтін) болуы шарттарымен пара-пар болғандықтан, келесі теоремаға келеміз.

Теорема-2. Егер аралығында функциясының екінші ретті туындысы бар болса, онда ойыс (дөңес) функция болуы үшін әрбір үшін теңсіздігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

Ойыс (дөңес) функциялардың геометриялық сипаты келесі теоремадан көрінеді.

Теорема. - аралығында дифференциалданатын функция болса, онда - ойыс (дөңес) функция болуы үшін, оның графигі өзінің әрбір жанамасынан төмен (жоғары) жатпауы қажетті және жеткілікті.

Анықтама. функциясы аралығында анықталған және үзіліссіз болсын. Егер нүктесінің белгілі бір оң және сол жақты маңайларында функциясының дөңестігі қарама-қарсы бағытталған болса, онда нүктесі - тің графигінің иілу нүктесі деп аталады.

Теорема-3 (иілу нүктесінің қажетті шарты). аралығында дифференциалданатын, ал - нүктесінде екінші ретті туындысы бар функция болсын. Егер иілу нүктесі болса, онда .

Теорема-4 (иілу нүктесінің жеткілікті шарты). Егер функциясы нүктесінің белгілі бір - маңайында үзіліссіз болып, аралығында туындысы бар және ол кемімейтін (өспейтін), аралығында туындысы бар және ол өспейтін (кемімейтін) болса, онда - иілу нүктесі.

Басқаша айтқанда, ( - өсу бағытында) - нүктесінен өткенде - екінші ретті туындының таңбасы өзгерсе, онда - иілу нүктесі болады.

Сонымен, функцияның иілу нүктелерін тек қана орындалатын немесе - болмайтын нүктелердің (ондай нүктелерді функцияның екінші ретті күдікті нүктелері деп те атайды) ішінен іздеу керек.

Функция графигінің асимптоталары

Анықтама. Егер функциясының графигіндегі нүктесі координата бас нүктесінен шексіз алшақтағанда осы нүктесінен түзуіне дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, түзуі - тің графигінің асимптотасы деп аталады.

Мұнда екі жағдай болуы мүмкін:

1) нүктесінің абциссасы ақырлы санына ұмтылады. Онда немесе жартылай түзуі вертикаль асимптота болады;

2) нүктесінің абциссасы немесе ұмтылады. Онда көлбеу асимптота деп аталады.

Теорема-1 (вертикаль асимптота туралы). түзуі вертикаль асимптота болуы үшін

немесе

шектерінің ең болмағанда біреуі шексіз үлкен болуы қажетті және жеткілікті.

Ескерту. Вертикаль асимптотаны анықтайтын саны функциясының үзіліс (екінші ретті) нүктелерінің ішінде.

Егер - үзіліссіз функция болса, онда вертикаль асимптота жоқ.

Теорема-2 (көлбеу асимптота туралы). түзуі функциясының көлбеу асимптотасы болуы үшін

және (4)

шектерінің бар болуы қажетті және жеткілікті.

(мұнда ұмтылғандағы шек оң жақ көлбеу асимптота, ал ұмтылғандағы шек сол жақ көлбеу асимптота үшін қарастырылады)

Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу

Функцияны зерттеп, оның графигін салу жұмысын келесі ретпен жүргізуді ұсынуға болады.

1. Функцияның анықталу аймағын анықтау. Оны жұп, тақ, периодтылықты зерттеу. Графиктің координата өстерімен қиылысу нүктелерін табу;

2. Функцияны үзіліссіздікке зерттеу.

3. Функцияның асимптоталарын табу.

4. Өсу, кему аралықтарын, экстремумдерді табу.

5. Ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табу.

6. Табылған үзіліс нүктелерін, күдікті нүктелерді олардың арасындағы аралықтарды (интервалдарды) көрсетіп кесте (таблица) салу. Әрбір аралықта функцияның сипаты көрсетіледі.

7. Қажет болған жағдайда (дәлірек график үшін) функцияның аралық мәндерін таба отырып функция графигінің эскизін салу.