Лабораторная работа № 9. Вычислительный эксперимент. Модели случайных блужданий

Теоретические сведения

Вспоминая историю науки, отметим, что в 50-60-х годах XX века началась новая научная революция - достижения физики, математики, информатики и техники открыли перспективы реализации крупнейших проектов - овладение атомной энергией и создание атомного оружия, освоение космического пространства и поиск новых фундаментальных законов природы.

Осуществление проектов потребовало огромных затрат ресурсов, детального анализа возможных путей протекания физических явлений и технологических процессов, тщательного отбора наилучших вариантов постановки дорогостоящих экспериментов. Сложность возникающих за-дач делала их недоступными для стандартных приемов теоретической и экспериментальной физики, а необходимость решения проблем стимулировала возникновение вычислительного эксперимента в физике как новой методологии научных исследований.

Таблица 2. Аналогия между вычислительным и натурным экспериментами

Натурный эксперимент	Вычислительный эксперимент
Физический объект	Математическая модель
Физический прибор	Программа для компьютера
Калибровка	Тестирование программы
Измерения	Вычисления
Анализ результатов	Анализ результатов

При постановке компьютерного эксперимента необходимо придерживать­ся определенной схемы: формализация вербального описания или математическое моделирование, например, составление дифференциальных уравнений в соответствии с условиями задачи; поиск алгоритма решения; разработка программного обеспечения (программы); тест программы по принципу соответствия (в предельном случае, при стремлении характерного параметра к нулю, данная «новая» задача переходит в «старую» с известным аналитическим решением; «запуск» программы (вычисления), интерпретация и анализ полученных результатов.

«День рождения» вычислительного эксперимента точно не установлен. Первые работы «новым методом» («третьим методом») приходятся на 50-е гг. ХХ века. А вот время, когда появились серьезные результаты, фиксируются вполне официально^_ 1968 г. Госкомитет по делам открытий и изобретений засвидетельствовал открытие явления в моделировании работы МГД- генератора (существование температурного или токового слоя^_ Т-слоя в нелинейной плазме), которые… никто не наблюдал (А.Н. Тихонов, А.А. Самарский и др.). Дальнейшие усилия были направлены на подтверждение результатов компьютерного моделирования. Знаменательный факт^_ вычислительный эксперимент предшествовал натурному, определяя кратчайшие пути к успеху.

Первоначальную формулировку задачи о «случайных блужданиях» предло­жил Пирсон в 1906 г. Если человек случайным образом делает N шагов равной длины от фо­нарного столба в произвольных направлениях, то, как далеко отойдет он от этого столба? (рис.4).

Со времени такой формулировки статистической задачи модели случайного блуждания получили широкое распространение в физике, биологии и общественных науках. Хорошо знакомыми по учеб­никам приложениями являются диффузия молекул в газе и броуновское движение коллоидных взвесей в жидкости, моделирование длинных полимер­ных цепочек.

Рис. 4. Иллюстрация постановки задачи о случайных блужданиях

Для простоты рассмотрим одномерные случайные блуждания частицы с постоянным шагом. Пусть в результате n таких последовательных шагов частица оказалась в точке с координатой . Тогда после очередного шага она попадет в точку . Поскольку при равновероятных блужданиях средняя координата найдем вели­чину, которой можно охарактеризовать среднее удаление частицы. Очевидно,- это среднее значение квадрата смещения .

Используя метод математической индукции, на основе полученного соотношения легко показать, что . Предположить данную зависимость можно из результатов реального или виртуального компьютерного эксперимента (рис.5). Заметим, что реальный эксперимент проводился несколько часов с десятью «частицами», в то время как более точный вычислительный эксперимент длится несколько минут при значительно больших параметрах и легко воспроизводится на современном ПК.

Рис. 5. Закон случайных блужданий

в вычислительном эксперименте

Таким образом, среднее значение квадрата смещения пропорцио­нально числу шагов, а если шаги совершаются за одинаковые промежутки времени, следовательно, . Диффузия частиц такова, что сред­ний квадрат смещения растет пропорционально времени. Другими словами, квадратный корень растет со временем пропор­ционально . Эта величина, называемая средним квадратичным значением координаты, не равна среднему значению расстоя­ния частицы от начала координат спустя промежуток времени t и в многомерном случае.

Поучительно рассмотреть непрерывный предел модели одномерного слу­чайного блуждания. Если с равной вероят­ностью делается шаг вправо или влево, то случайное блуждание можно переписать в виде простого «порождающего» уравнения или с учетом длины и времени шага для плотности вероятности имеем . После несложных преобразований получим конечно-разностное уравнение диффузии, которое в пределе и переходит в дифференциальное уравнение в частных производных , где коэффициент диффузии .

Рис. 6. Нормальный закон диффузии в трехмерной графике

Решением данного уравнения для свободного пространства является распределение Гаусса (нормальный закон):

(рис. ).

Таким образом, , а . Обобщение решения на d-мерный случай дает: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Смоделировать одномерные случайные блуждания. Условия вычислительного эксперимента в среде VBA выбрать самостоятельно. Построить график в таблице Excel.

2. Изучить асимптотику модели случайных блужданий. Построить график плотности распределения частиц по координатной оси в разные моменты времени.