1 Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм

1.1 Основные законы и формулы

Закон Кулона

,

где F - сила взаимодействия точечных зарядов q₁ и q₂, Н; r - расстояние между зарядами, м;  - диэлектрическая проницаемость среды; ₀ - электрическая постоянная, Ф/м.

Напряженность электрического поля (В/м) и потенциал φ (В)

, ,

где W_p - потенциальная энергия точечного положительного заряда q, находящегося в данной точке поля при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного на бесконечность, равна нулю, Дж.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции полей)

, .

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом

, ,

где r - расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал, м.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

а) E = 0; (при r<R);

б) ; (при r = R);

в) ; (при r > R),

где q - заряд сферы.

Линейная плотность заряда (Кл/м) .

Поверхностная плотность заряда (Кл/м²) .

Напряженность и потенциал поля точечного заряда dq, распределенного с линейной плотностью  вдоль прямой линии, определяется по формулам:

, ,

где - радиус-вектор, направленный от выделенного элемента длины dl к точке, в которой вычисляется напряженность.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенным зарядом:

, .

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

,

где r - расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется, м.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

.

Связь потенциала с напряженностью:

а) , или в общем случае;

б) ‑ в случае однородного поля;

в) ‑ в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.

Электрический момент диполя

,

где q – заряд, Кл; - плечо диполя (вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и численно равный расстоянию между зарядами), м.

Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом ₁ в точку с потенциалом ₂

.

Электроемкость проводника (Ф)

, или ,

где  - потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю), В; U - разность потенциалов пластин конденсатора, В.

Электроемкость плоского конденсатора (Ф)

,

где S - площадь одной пластины конденсатора, м²; d - расстояние между пластинами, м.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а) ‑ при последовательном соединении;

б) ‑ при параллельном соединении,

где N - число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора (Дж):

.

Сила постоянного тока (А)

,

где q - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность тока (А/м²)

,

где S - площадь поперечного сечения проводника, м².

Связь плотности тока со средней скоростью v направленного движения заряженных частиц

,

где q - заряд частицы, Кл; n - концентрация заряженных частиц, м^-3.

Закон Ома:

а) ‑ для участка цепи, не содержащего ЭДС, где ₁-₂=U - разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи, В; R - сопротивление участка, Ом;

б) ‑ для участка цепи, содержащего ЭДС, где  - ЭДС источника тока, В; R - внешнее сопротивление участка цепи, Ом; r - внутреннее сопротивление источника тока, Ом;

в) ‑ для замкнутой (полной) цепи, где R - внешнее сопротивление всей цепи, Ом; r - внутреннее сопротивление источника тока. Если r=0, то ‑ ток короткого замыкания.

Законы Кирхгофа:

а) - первый закон;

б) - второй закон,

где - алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; - алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление участков;  ‑ алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление R и проводимость G проводника

,

где  - удельное сопротивление, Ом∙м;  - удельная проводимость, Ом^‑1∙м^‑1; l - длина проводника, м; S - площадь поперечного сечения проводника, м².

Сопротивление системы проводников (Ом):

а) при последовательном соединении;

б) при параллельном соединении, где R_i - сопротивление i-го проводника.

Работа тока (Дж):

.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две - для участка, не содержащего ЭДС.

Мощность тока (Вт):

.

Закон Джоуля-Ленца

.

Закон Ома в дифференциальной форме

,

где  - удельная проводимость, Ом^‑1∙м^‑1; - напряженность электрического поля, В/м; - плотность тока, А/м².

Связь магнитной индукции В (Тл) с напряженностью магнитного поля Н (А/м)

,

где  - магнитная проницаемость изотропной среды, ₀ - магнитная постоянная, Гн/м. В вакууме =1, и тогда магнитная индукция в вакууме

.

Закон Био-Савара-Лапласа

или ,

где dB - магнитная индукция поля (Тл), создаваемого элементом провода длиной dl с током I; r - радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция, м;  - угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода, рад.

Магнитная индукция в центре кругового тока

,

где R - радиус кругового витка, м.

Магнитная индукция на оси кругового тока

,

где h - расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция, м.

Магнитная индукция поля прямого тока

,

где r₀ - расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция, м.

Магнитная индукция поля соленоида

,

где n - отношение числа витков соленоида к его длине, м^-1.

Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера), или ,

где l - длина провода, м;  - угол (рад) между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции В. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода. Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу провода в отдельности:

.

Магнитный момент плоского контура с током (А∙м²)

,

где - единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I - сила тока, протекающего по контуру, А; S - площадь контура, м².

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле (Н∙м),

, или ,

где  - угол между векторами и .

Сила Лоренца

, или ,

где V - скорость заряженной частицы, м/с;  - угол (рад) между векторами и .

Магнитный поток (Вб):

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

или ,

где S - площадь контура, м²;  - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции, рад;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

,

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле (Дж)

,

где I – сила тока в контуре, А; ΔΦ – изменение магнитного потока в контуре при его перемещении в магнитном поле, Вб.

ЭДС индукции (В)

.

Разность потенциалов на концах провода, движущегося со скоростью V в магнитном поле,

,

где l - длина провода, м;  - угол (рад) между векторами и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока ΔΦ, пронизывающего этот контур,

, или ,

где R - сопротивление контура, Ом; N – число витков в контуре.

Индуктивность контура (Гн)

,

где Φ – магнитный поток, пронизывающий контур, Вб; I – сила тока, проходящего в контуре, А.

ЭДС самоиндукции (В)

.

Индуктивность соленоида (Гн)

,

где n - отношение числа витков соленоида к его длине, м^-1; V - объем соленоида, м³.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением r и индуктивностью L:

а) (при замыкании цепи), где  - ЭДС источника тока, В; t - время, прошедшее после замыкании цепи, с;

б) (при размыкании цепи), где I₀ - сила тока в цепи при t=0; t - прошедшее с момента размыкания цепи, с.

Энергия магнитного поля (Дж)

.

Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)

, или , или ,

где В - магнитная индукция, Тл; Н - напряженность магнитного поля, А/м.