МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ВИННИЧЕНКА

Ю.В. Яременко, Л.І. Лутченко

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Частина 2

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Кіровоград – 2005

УДК 514.12

ББК 22.151.5

Я 72

Аналітична геометрія. ч.2. Навчально-методичний посібник / Укл. Ю.В. Яременко, Л.І. Лутченко – Кіровоград: “Антураж А”, 2005. – 116 с.

Даний посібник є продовженням і логічним завершенням посібника Аналітична геометрія, частина 1. У посібнику розглядаються основні поняття аналітичної геометрії з таких тем: перетворення площини, квадратичні форми, криві другого порядку, поверхні другого порядку. Матеріал з вказаних тем викладено в обсязі, передбаченому навчальними програмами для фізико-математичних факультетів педагогічних університетів. Наведено розв’язання типових прикладів та підібрано вправи для самостійної роботи, що допоможе кращому засвоєнню теоретичного матеріалу.

Навчально-методичний посібник буде корисним для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних вузів, а також для студентів, учнів та вчителів математики інших навчальних закладів, де вивчаються основи аналітичної геометрії. Особливо дана робота буде корисна для студентів заочної форми навчання.

Рецензент: Кириченко В.В., доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри геометрії Київського національного університету ім. Тараса Шевченка; Волков Ю.І., доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри математики Кіровоградського державного університету ім. Володимира Винниченка

Затверджено до друку методичною радою КДПУ ім.В.Винниченка (протокол № 12 від 02.02.2005 р.).

ББК 22.151.5

Я 72

© Ю.В. Яременко, Л.І. Лутченко, 2005

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА.....................................................................................5

1. Перетворення площини……………….................................7

§ 1. Перетворення площини. Група перетворень площини та її підгрупи……………………......................................................7

§ 2. Рухи площини............................................................................10

§ 3. Два види руху. Аналітичне задання руху................................14

§ 4. Класифікація рухів площини....................................................15

§ 5. Група рухів площини і її підгрупи............................................17

§ 6. Перетворення подібності. Гомотетія як приклад

перетворення подібності............................................................19

§ 7. Аналітичне задання подібності. Властивості подібності.......22

§ 8. Класифікація перетворень подібності......................................25

§ 9. Група подібності та її підгрупи.................................................26

§ 10. Афінні перетворення................................................................27

§ 11. Аналітичне задання афінного перетворення. Група

афінних перетворень…………………..………………………29

Задачі...........................................................................................31

2. Квадратичні форми................................................................34

§ 12. Поняття квадратичної форми..................................................34

§ 13 Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

в n-вимірному векторному просторі.........................................36

§ 14. Криві другого порядку та їх класифікація..............................40

§ 15. Поверхні другого порядку та їх класифікація.......................44

§ 16. Зведення квадратичної форми до канонічного

вигляду в евклідовому векторному просторі...........................46

Задачі...........................................................................................52

3. Криві другого порядку.........................................................55

§ 17. Еліпс..........................................................................................55

§ 18. Гіпербола...................................................................................59

§ 19. Парабола....................................................................................62

§ 20. Афінна еквівалентність еліпсів (гіпербол). Подібність

парабол......................................................................................64

§ 21. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярній системі координат..................................................................................65

§ 22. Дотичні до кривих другого порядку.......................................68

§ 23. Оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи.............70

Задачі.........................................................................................75

4. Поверхні другого порядку...................................................83

§ 24. Поверхні обертання..................................................................83

§ 25. Еліпсоїд.....................................................................................84

§ 26. Конус.........................................................................................86

§ 27. Однопорожнинний гіперболоїд..............................................88

§ 28. Двопорожнинний гіперболоїд.................................................90

§ 29. Еліптичний параболоїд............................................................92

§ 30. Гіперболічний параболоїд.......................................................93

§ 31. Циліндричні поверхні..............................................................95

§ 32. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку..................98

§ 33. Дотична площина до поверхні другого порядку.................101

Задачі.......................................................................................103

Індивідуальне домашнє завдання..........................................108

ЛІТЕРАТУРА...................................................................................115