Міністерство освіти і науки

Комунальний вищий навчальний заклад

«Бериславський педагогічний коледж»

Херсонської обласної ради

Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 2 Семестр: ІV Кількість годин: 2

Лекція 9

Тема: Подільність цілих невід’ємних чисел. Поняття відношення подільності, його основні властивості.

Викладач: Пєрмінова І.О.

Розглянуто на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін Протокол № 10 від 10 червня Голова предметної (циклової) комісії: _____________ Н.В.Назаренко

м. Берислав,

2009 р.

Тема лекції: Подільність цілих невід’ємних чисел. Поняття відношення подільності, його основні властивості.

Знати:

• поняття відношення подільності;

• властивості відношення подільності;

• ознаки подільності суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел;

• ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25 в десятковій системі числення;

• означення найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного натуральних чисел, способи їх знаходження;

• ознаки подільності на складені числа.

Вміти:

• доводити ознаки подільності;

• застосовувати ознаки подільності при розв'язуванні прикладів і задач$

• знаходити найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел.

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: просте і складене число, рефлексивне, антисиметричне, транзитивне відношення подільності, найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне натуральних чисел.

План

1. Поняття відношення подільності.

2. Властивості відношення подільності.

3. Подільність суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел.

4. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9 в десятковій системі числення.

5. Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне натуральних чисел, способи їх знаходження.

6. Ознаки подільності на складені числа.

Основна література

1. Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник для педучилищ. – К.: Вища школа, 1987. – 319 с.

2. Стойлова Л.П., Пишкало А.М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся педучилищ. – М.: Просвещение, 1988. – 320 с.

Структура лекції

1. Вступна частина:

   0. Оголошення теми, мети і завдань лекції.

   1. Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.

2. Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції).

І. Поняття відношення подільності.

Як відомо, віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел виконується не завжди. Наприклад, на множині N₀ ми не можемо знайти різницю і частку чисел 3 і 8. Але питання про існування різниці цілих невід’ємних чисел а і в визначається просто – достатньо встановити (за записом чисел, що ). Для ділення такої загальної ознаки немає. Тому математики з давніх пір намагались знайти такі правила, які дозволяли б за записом числа а дізнатися, ділиться воно на число в чи ні, не виконуючи безпосереднього ділення а на в. В результаті цих пошуків були відкриті не тільки деякі ознаки подільності, а й інші важливі властивості чисел. Щоб розглянути ці властивості, треба уточнити поняття відношення подільності.

Якщо дано деяке ціле невід’ємне число а і натуральнее число в, то як відомо можливо два випадки:

1) а не ділиться на b. Це означає, що при ділення а на в залишається остача, що більша нуля, але менша за дільник , .

18 не дылиться на 4, тому що 18 = 4 · 4 + 2.

2) а ділиться на b, а кратне b. Це записують так , . Якщо , то говорять, що є дільником числа . , бо .

Так як дільник данного числа не перевищує цього числа, то множина його дільнгиків скінченна.

Наприклад, множина дільників числа . В залежності від кількості дільників серед натуральних чисел розрізняють прості і складені числа.

Означення. Простим числом називається таке натуральнее число, яке має тільки два дільника – одиницю і саме це число.

Наприклад, число 13 просте, тому що у нього два дільника 1 і 13.

Означення. Складеним числом називається таке натуральнее число, яке має більше двох дільників.

Наприклад, число 8 – складене, у нього чотири дільника: 1, 2, 4, 8.

Число 1 не є складеним і не є простим числом, тому що воно має один дільник.

Множина чисел, кратних даному числу нескінчена.

Наприклад, множина чисел, які кратні числу

, де

ІІ. Властивості відношення подільності.

Відношення подільності володіє властивостями: рефлективності, анти симетричності, транзитивності. доведемо ці властивості.

Рефлективність.

Теорема. Відношення подільності рефлексивне, тобто будь-яке натуральне число ділиться саме на себе, тобто .

Доведення. Для будь-якого натурального числа справедлива рівність . А це означає, що існує таке , що звідси за означенням відношення подільності .

З доведеної теореми випливає, що будь-яке ціле невід’ємне число ділиться на 1.

Антисиметричність.

Теорема. Відношення подільності антисиметричне, тобто для будь-яких різних чисел і з того, що не слідує, що .

Доведення. Припустимо, що , тоді (1)

Оскільки , то (2)

Нерівності і правильні тільки в тому випадку, коли . Ми прийшли до суперечності з умовою. Отже наше припущення невірне, тобто відношення подільності антисиметричне.

Транзитивність.

Теорема. Відношення подільності транзитивне, тобто з того що і слідує, що

Доведення

Якщо

Якщо

, де

Отже .

Відношення подільності є відношенням порядку, бо воно володіє властивостями антисиметричності і транзитивності. Якщо число ділиться на 6, то воно має вигляд 6 , тоді інші числа при діленні на 6 можуть мати остачу 1, 2, 3, 4, 5 це числа

6 +1, 6 +2, 6 +3, 6 +4, 6 +5. Тоді можна представити так

6 +5 6

6 +4 6 +1

6 +3 6 +2

ІІІ. Подільність суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел.

Подільність суми на число.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число , то і їх сума ділиться на це число.

Дано:

Довести:

Доведення: так як ,

так як ,

,

.

Наприклад. 1) Якщо 45 9 і 18 9 то (45+18) 9, справді 15 + 18 = 63, 63 9.

2) 204 17, так як 204 = 170 + 34, то 170 17 34 17.

Теорема про неподільність суми на число.

Теорема. Якщо в сумі один з доданків не ділиться на число , а всі останні доданки діляться на число , то вся сума на число не ділиться.

Дано: (1)

,

Довести: s

Доведення: (від супротивного). Припустимо що , тоді з рівності (1)

Так як і за теоремою про подільність суми , то за теоремою про подільність різниці , а це суперечить умові. Оже .

Наприклад, (190+13) не 19, так як 190 19 13 19.

Подільність різниці на число.

Теорема. Якщо числа а і b діляться на n і а ≥ b, то а – b n.

Доведення аналогічне до теореми подільності суми.

Подільність добутку на число.

Якщо один із співмножників добутку ділиться на натуральне число n, то і весь добуток ділиться на n.

Доведення. нехай а n, то а = n · q (·b)

a · b = (n · q) · b, звідси a · b = n · (q · b), але q · b – ціле невід’ємне число k, тоді a · b = n · k a · b n

ІV. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9 в десятковій системі числення.

Ознака подільності на 2.

Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Ознака подільності на 5.

Для того щоб число х ділилося на 2, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0 або 5.

Ознака подільності на 4 (25).

Для того щоб число х ділилося на 4, необхідно і достатньо, щоб на 4 ділилося двохзначне число, утворене двома останніми числами десяткового запису числа х.

Ознака подільності на 3.

Для того щоб число х ділилося на 3, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 3.

Ознака подільності на 9.

Для того щоб число х ділилося на 9, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 9.