Переходные характеристики

При исследовании систем автоматического управления обычно используются два вида переходных характеристик:

• переходная характеристика, называемая также кривой разгона или временной характеристикой;

• импульсная переходная характеристика, называемая также импульсной характеристикой или функцией веса.

Реакция линейной системы на единичное ступенчатое входное воздействие называется переходной характеристикой – h(t). Эта характеристика может быть получена как аналитически, так и экспериментально путем подачи на вход системы единичного ступенчатого воздействия – x₀(t) и регистрации вызванного этим воздействием значения выхода системы – h(t) (рис. 1 – 12).

Реакция линейной системы на входное воздействие в виде дельта-функции - (t) называется импульсной переходной характеристикой W(t). Эта характеристика (пунктир на рис. 1 – 13б) может быть также получена аналитически и экспериментально.

Однако необходимо помнить, что входное воздействие в виде дельты-функции реализовать в реальных условиях не представляется возможным, так как это воздействие представляет собой бесконечно большой импульс на бесконечно малом отрезке времени, что невозможно получить из-за ограничений накладываемых реальной регулирующей аппаратурой на скорость и величину перемещения регулирующего органа. Поэтому при экспериментальном получении импульсной переходной характеристики необходимо подавать входной сигнал возможно большей величины в течение отрезка времени t, положительность которого определяется технологическими особенностями данной системы. Регистрация изменения выхода системы, обусловленного подачей на вход последней импульсного сигнала длительностью t, позволяет получить экспериментальную импульсную переходную характеристику - W^эк(t) (рис. 1 – 13), степень приближения которой к идеальной импульсной характеристике – W(t) (пунктир, рис. 1 – 13) будет определяться величиной входного сигнала и временем его действия на вход системы t.

Аналитически переходная и импульсная переходная характеристики системы находятся достаточно просто при знании дифференциального уравнения системы. Например, полагая, что дифференциальное уравнение системы имеет вид:

, (119)

переходная характеристика системы находится как решение этого уравнения при единичном входном воздействии X(t)=I(t) и при начальных условиях Y(t=0)=0. Решение исходного уравнения осуществлялось в § 1-5 и, следовательно, переходная характеристика для рассматриваемой системы имеет вид (рис. 1 – 11):

.

Импульсная переходная характеристика рассматриваемой системы есть решение исходного дифференциального уравнения при

.

Тогда, так как правая часть есть производная, существующая только в момент времени, равной 0, то при t0 исходного уравнения – (119) соответствует уравнению:

, (120)

решение которого ищется в виде:

.

Начальные условия Y(0) находятся путем интегрирования обеих частей уравнения (119) в пределах от –t₁ до +t₁

.

Устремив t₁0 и +t₁+0 получаем:

,

отсюда находим начальное условие:

.

В результате, решения уравнение (120) при найденных начальных условиях, записываем импульсную переходную характеристику линейной системы в виде:

.

Выше отмечалось, что знание реакции линейной системы на типовое воздействие позволяет определить и реакцию линейной системы на любое другое входное воздействие, которое может быть представлено в виде суммы последовательных воздействий. Полагая, что известной является импульсная переходная характеристика линейной системы W(t), найдем значение выхода системы в момент времени t на произвольное (но заданное) входное воздействие X(t). Для этого необходимо заменить X(t) приближенным ступенчатым воздействием , с шагом каждой ступеньки по времени -  (рис. 1 – 14), полагая, что:

1. Функция  последовательность прямоугольных импульсов длительностью .

2. .

Таким образом, для приближенного нахождения реакции линейной системы в момент времени t на входное воздействие x(t) необходимо знать сумму реакций системы на все прямоугольные импульсы длительностью , предшествующие моменту времени. При этом степень приближения полученного результата к его истинному значению будет тем больше, чем меньше длительность импульсов  .

Реакцию системы на достаточно короткий прямоугольный импульс можно считать приближенно равной импульсной переходной характеристике системы W(t), умноженной на площадь этого импульса x(t). Следовательно, реакция системы на ступенчатое воздействие будет определяться выражением:

. (121)

Устремив в формуле (121)  к 0 (т.е. 0), можно найти точное решение поставленной задачи. При этом знак суммы заменяется интегралом, а дискретное значение времени i заменяется непрерывно изменяющимся значением  :

(122)

В результате получается так называемая формула свертки, широко используемая в теории автоматического управления, а операция, осуществляемая этой формулой, называется сверткой функций W(t) и x(t).

Для физически реализуемых систем импульсные переходные характеристики должны удовлетворять условию:

W(t)=0 при t0.

Поэтому интеграл (122) не изменится, если нижний предел перенести в  :

. (123)

Как правило, при решении задач анализа и синтеза систем

а втоматического управления ищется реакция динамических систем на внезапно приложенное воздействие:

Поэтому в верхнем пределе интеграла (122) и (123) можно вместо + поставить t, получив тем самым наиболее распространенную форму записи интеграла свертки, т.е.

(124)

Из последних формул легко можно определить переходную характеристику системы, полагая, что – X()=I(t):

. (125)

Таким образом, как следует из (125), переходная характеристика (кривая разгона) представляет собой интеграл от импульсной переходной характеристики.

С другой стороны, импульсная переходная характеристика равна первой производной от переходной характеристики:

(126)