Критерий устойчивости Гурвица

Согласно критерию устойчивости Гурвица, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения

имели один и тот же знак, а определитель порядка (n-1) и все его диагональные миноры были бы положительными:

и

.

Правило составления определителей:

₁=а_п-1>0;

 ₂= а_п-1 а_п-3 =а_п-1 а_п-2 – а_п а_п-3 >0;

а_п а_п-2

а_п-1 а_п-3 а_п-5

 ₃= а_п а_п-2 а_п-4 =а_п-3₂ – а_п-1 а_п-1 а_п-5 =а_п-3₂ – а_п-1(а_п-1  а_п-4 - а_п а_п-5)>0;

0 а_п-1 а_п-3 а_п а_п-4

а_п-1 а_п-3 а_п-5 а_п-7

₄= а_п а_п-2 а_п-4 а_п-6 =а_п-4 ₃>0

0 а_п-1 а_п-3 а_п-5

0 а_п а_п-2 а_п-4

и т.д.

Все коэффициенты, имеющие индекс, превышающий степень характеристического уравнения, заменяются нулями.

Определитель _п-1 называется определителем Гурвица, а ₁, ₂,…_п-2 представляют собой диагональные миноры определителя Гурвица.

Итак, корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, если все определители положительны.

Отсюда следует, что система заведомо неустойчива, если какой-либо из ее коэффициентов характеристического уравнения отличается по знаку от остальных коэффициентов или равен нулю.

Примеры устойчивости простейших линейных систем:

1. Система а₁р+а₀=0

условие устойчивости: а₁>0; а₀>0.

2. Система а₂р²+а₁р+а₀=0

условие устойчивости: а₂>0; а₁>0; а₀>0.

3. Система а₃р³+а₂р²+а₁р+а₀=0

условие устойчивости: а₃>0; а₂>0; а₁>0; а₀>0; а₂а₁>а₃а₀.

Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического управления по виду расположения годографа Михайлова в комплексной плоскости. Предположим, характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления имеет вид (рис. 1 – 58). Заменив символ дифференцирования р на комплексную величину i, в левой части выражения (187) получим полином от (i), являющейся вектором в комплексной плоскости:

. (188)

При изменении  от 0 до  этот вектор поворачивается и меняет свою длину так, что его конец вычерчивает в комплексной плоскости кривую, называемую годограф Михайлова.

Критерий Михайлова утверждает, что система будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до  годограф Михайлова, начинаясь на вещественной действительной полуоси, проходит последовательно против часовой стрелки п квадрантов (где п – порядок характеристического уравнения),поворачиваясь на угол

На рис. 1 – 58 представлены расположения годографа на комплексной плоскости, если:

а) система устойчива;

б) система находится на границе устойчивости (годограф проходит через начало координат);

в) система неустойчива (годограф меняет направление и не проходит в указанной последовательности квадранты комплексной плоскости).

Комплексно-частотный критерий устойчивости

Комплексно-частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического управления по ее комплексно-частотной характеристике в разомкнутом состоянии. Этот критерий широко используется при анализе и синтезе промышленных систем автоматического управления, т.к. является чрезвычайно удобным для исследования устойчивости АСУ при наличии полученных экспериментально частотных характеристик регулируемого объекта.

К ритерий Найквиста формулируется следующим образом: если линейная система автоматического управления в разомкнутом состоянии (без обратной связи) устойчива и ее комплексно-частотная характеристика при изменении частоты от 0 до  не охватывает точки в комплексной плоскости с координатами -1, i0, то после замыкания этой системы отрицательной обратной связью она также будет устойчивой. Если комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы охватывает эту точку (-1, i0), то при замыкании обратной связи система потеряет устойчивость. Если комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку

-1, i0, то при замыкании обратной связью эта система будет на границе устойчивости (нейтральная система). На рис. 1 – 59 показано расположение разомкнутых комплексно-частотных характеристик систем управления в комплексной плоскости для систем устойчивых в замкнутом состоянии (кривая 1), нейтральных (кривая 2) и неустойчивых (кривая 3).

§ 1-14 Запас устойчивости

При практических исследованиях систем автоматического управления необходимо помнить, что, как правило, динамические характеристики регулируемого объекта или системы находятся с определенной погрешностью и, кроме того, они меняются с течением времени и с изменением нагрузки. Это вызывает необходимость введения более жестких ограничений на устойчивость системы управления, которые сводятся к тому, чтобы система была не просто устойчивой, но и обладала определенным запасом устойчивости. При этом запас устойчивости может определяться:

1. Расположением корней характеристического уравнения системы в комплексной плоскости;

2. Расположением комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы относительно «опасной» точки с координатами -1,i0.

Расположение корней характеристического уравнения системы в комплексной плоскости при заданном запасе устойчивости определяется величиной степени устойчивости системы   или величиной степени колебательности системы т (запас устойчивости по «» или «т»).

Система обладает необходимым запасом устойчивости, если все корни ее характеристического уравнения располагаются левее прямой, проведенной в левой полуплоскости параллельно мнимой оси на расстоянии  от нее (рис. 1 – 60).

В практических расчетах при исследовании систем управления чаще запас устойчивости системы определяется величиной ее степени колебательности – т. Это приводит к требованию, чтобы корни характеристического уравнения системы располагались внутри области в левой полуплоскости, ограниченной лучами ОА и ОВ, тангенс угла которых к мнимой оси определяется выражением (рис. 1 – 61). Обычно при расчетах величину «т» принимают равной 0,366, что соответствует =0,9.

В этом случае, если динамические свойства системы (объекта) характеризуются экспериментально полученными частотными характеристиками, то запас устойчивости системы удобно непосредственно оценивать по степени удаления комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы относительно точки -1,i0, определяемой величиной комплексно-частотной характеристики замкнутой системы – М (запас устойчивости по «М»).

Допустим, имеется комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы – W_ос(iw) (рис. 1 – 62а), тогда комплексно-частотная характеристика замкнутой системы (рис. 1 – 62б) определяется через модуль комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы по отношению:

. (189)

И з рис. 1 – 62 видно, что с увеличением максимума амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы М, комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы приближается к «опасной» точке -1,i0 и, следовательно, запас устойчивости системы уменьшается. На основании этого можно сформулировать требования, которым должно удовлетворять расположение комплексно-частотной характеристики разомкнутой системы относительно «опасной» точки -1,i0, чтобы максимум амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы имел заданную величину М=Ф(iw)=const. Это требование сводится к тому, чтобы комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы не заходила внутрь области ограниченной окружности радиусом и с центром, расположенным на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии от начала координат (рис. 1 – 63).

Обычно считается, что система управления имеет заданный запас устойчивости, если ее показатель колебательности – «М» не превышает величины 1,2+1,6, что соответствует степени затухания Ф0,95-0,9.

§ 1-15 Качество систем управления

Выше отмечалось, что устойчивость систем автоматического управления является внутренним свойством системы и, следовательно, необходимым предварительным этапом исследования систем управления является оценка величины заданного запаса устойчивости.

Однако, в конечном счете, при настройке систем автоматического управления в промышленных условиях необходимо найти числовые значения параметров настройки регулятора, которые бы обеспечили наилучшее качество переходных процессов (при соблюдении системой управления заданного запаса устойчивости) в случае, если она подвергается воздействию как управляющих (по каналу регулирующего воздействия), так и случайных возмущающих воздействий (действующих по остальным каналам).

В этих условиях качество переходных процессов в системе управления оценивается рядом показателей, выбираемых в зависимости от характера действующих возмущений и требований технологии того или иного производства. Рассмотрим ряд показателей качества, получивших наибольшее распространение при анализе и синтезе промышленных систем управления.

При действии на систему детерминированных возмущающих и управляющих воздействий качество переходных процессов можно характеризовать одним (или, в зависимости от требований технологии, двумя) из следующих показателей:

1. Максимальным отклонением – X_max регулируемой величины от ее установившегося значения (рис. 1 – 64).

2. Величиной перерегулирования – Х_пер регулируемой величины от ее установившегося значения (рис. 1 – 64).

3. Длительностью переходного процесса t_p, определяемой временем, по истечении которого регулируемая величина отличается от своего установившегося значения меньше, чем на некоторую заданную величину  (рис. 1 – 64).

4. Линейным интегральным критерием , используемый в случае, если переходный процесс протекает без перерегулирования (рис. 1 – 65а).

5. Квадратичным интегральным критерием , используемым при анализе качества как апериодических, так и колебательных процессов (рис. 1 – 65б).

В реальных условиях возмущения, действующие на систему, носят случайный характер, что и обуславливает необходимость при оценке точности работы системы использовать статистический критерий качества. В этом случае для оценки точности работы АСУ обычно используется критерий минимума дисперсии регулируемой величины, являющейся наиболее универсальной оценкой точности работы системы управления:

.

Здесь S(w) спектральная плотность возмущающего воздействия;

²  дисперсия (разброс около среднего значения) регулируемой величины;

w  частота, изменяющаяся от 0 до .

§ 1-16 Понятие о расширениях комплексно-частотных характеристик. Расчет настройки регуляторов.

При исследованиях и расчете настроек систем автоматического управления, требующих соблюдения системой заданной степени устойчивости или колебательности, можно воспользоваться обобщенным критерием устойчивости Найквиста. Для возможности пользования им необходимо оперировать не с обычными комплексно-частотными характеристиками разомкнутой системы, а с расширенными комплексно-частотными характеристиками, полученными из передаточной функции системы заменой символа дифференцирования р на комплексную переменную (-i).

В этом случае требование соблюдения заданной степени устойчивости сводится к тому, что значение комплексной переменно определяется величиной степени устойчивости системы «», т.е. (-i)=-i, а при расчете систем управления на заданную степень колебательности – «т» значение комплексной переменной соответственно равно: (-i)=-тi.

К полученной в результате этих преобразований расширенной комплексно-частотной характеристике разомкнутой системы может быть применен рассмотренный выше комплексно-частотный критерий устойчивости, формулированный следующим образом: если степень устойчивости (или степень колебательности) разомкнутой системы управления больше, чем заданное ее значение после замыкания или равна ей, то степень устойчивости (или степень колебательности) замкнутой системы будет также больше ее заданного значения, если соответствующая расширенная комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает точки с координатами -1,i0.

При практических расчетах АСУ с учетом соблюдения заданного запаса устойчивости обычно используется ограничение на величину заданной степени колебательности, принимая ее равной величине т=0,366, что соответствует степени затухания =0,9.

Тогда расчет настройки регуляторов (при ограничении на величину «т») сводится к следующему:

1. Находится передаточная функция регулируемого объекта, используя один из рассмотренных выше экспериментальных методов (§ 1-10).

2. В выражении для передаточной функции заменяется символ дифференцирования р на комплексную величину (-тi), найдя и построив тем самым исходную расширенную комплексно-частотную характеристику регулируемого объекта.

3. Задаваясь радом значений частот, в плоскости параметров настройки регулятора, осуществляется расчет области (рис. 1 – 66) заданного запаса устойчивости регулятора по формуле:

. (190)

Э то выражение вытекает из требования комплексно-частотного критерия устойчивости, утверждающего, что для соблюдения системой заданного запаса устойчивости необходимо, чтобы расширенная комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы (представляющая собой произведение расширенной комплексно-частотной характеристики регулятора и объекта) не охватывала точку -1,i0, т.е.

. (191)

4. На границе области заданного запаса устойчивости (рис. 1 – 66) ищется такое оптимальное значение параметров настройки регулятора (например, для ПИ-регулятора, коэффициента усиления – К_р и времени изодрома Т_и), при котором будет соблюдаться наилучшее качество регулирования, определяемое требованием технологии производства, при соблюдении заданного запаса устойчивости системой. В частности, если на систему действуют низкочастотные возмущения, то оптимальным параметрам настройки ПИ-регулятора соответствует нахождение точки в верхней правой части на границе области заданного запаса устойчивости (выделенный участок).

5. Для найденных оптимальных параметров настройки регулятора расчетным путем или с помощью аналоговых вычислительных машин проверяется качество работы систем управления.

§ 1-17 Расчет настройки ПИ-регуляторов при ограничении на величину максимума амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы («М»)

Предлагаемый способ настойки удобен для пользования при наличии полученных экспериментально частотных характеристиках регулируемого объекта и не требует нахождения расширенных КЧХ.

Как и ранее, в основе этого способа настройки лежит комплексно-частотный критерий устойчивости.

Действительно, если обратить внимание, что комплексно-частотная характеристика разомкнутой системы определяется из выражения:

, (192)

то, следовательно, для определения устойчивости заданной системы по известной КЧХ объекта достаточно ее умножить на КЧХ регулятора при предлагаемых параметрах настройки и посмотреть, охватывает ли полученная КЧХ разомкнутой системы точку с координатами -1,i0 на комплексной плоскости или нет.

Для широко распространенных в промышленности ПИ-регуляторов выражение (192) расшифровывается следующим образом:

. (193)

Полагая, что к_р=1, из выражения (93) получаем:

. (194)

Таким образом, чтобы получить комплексно-частотную характеристику разомкнутой системы с ПИ-регулятором, полагая, что к_р=1 и Т_и=const, достаточно к каждому вектору (на каждой частоте) комплексно-частотной характеристики регулируемого объекта W_об(iw) добавить вектор длиной (рис. 1 – 67), повернутый на угол -90⁰ по часовой стрелке (ПИ-регулятор создает отставание по фазе -90⁰).

iJ()

Теперь, для известного Т_и=const, требуется лишь найти такое значение к_р, при котором W_pc(iw) не зайдет в «запретную» область, ограниченную окружностью с принятым индексом «М» (обычно берут М=1,62, что соответствует степени затухания =0,9). Для этого достаточно, увеличивая (или уменьшая) к_р, добиться такого расположения КЧХ в комплексной плоскости, при котором W_pc(iw) коснется окружности с заданным индексом «М».

Т_и

Задаваясь рядом значений Т_и и действуя вышеизложенным способом, находятся соответствующие величины коэффициентов усиления к_р, что позволяет построить в плоскости параметров настройки область заданного запаса устойчивости (рис. 1 – 68) и, следовательно, найти на границе этой области также параметры настройки регулятора, которые обеспечивают наилучшее качество переходного процесса. В частности, при низкочастотном характере возмущ ающих воздействий, оптимальные параметры настройки соответствуют отношению , а точка, соответствующая этому отношению, легко найдется, если провести из начала координат касательную к области заданного запаса устойчивости.

На основании вышеуказанного можно заключить, что расчет настройки систем с ПИ-регулятором сводится к следующему:

1. В комплексной плоскости строится комплексно-частотная характеристика регулируемого объекта – W_об(iw).

2. Графо-аналитическим методом, изложенным выше, находится область заданного запаса устойчивости системы управления.

3. Определяются в найденной области параметры настройки регулятора, обеспечивающие требование наибольшей точности работы системы управления.

4. Строится переходный процесс с целью проверки работоспособности системы управления при найденных оптимальных параметрах настройки регулятора.

На основании вышеизложенных методов настройки регуляторов (как по величине «т», так и по «М») в настоящее время разработаны и даются ряд рекомендаций по настройке промышленных систем управления приближенными методами [2, 3, 8, 9, 11]. Суть этих приближенных методов сводится к тому, чтобы в промышленных условиях, минуя сложные аналитические выкладки и громоздкие графо-аналитические построения, по известным динамическим свойствам объекта регулирования достаточно быстро и просто настроить регуляторы оптимальным образом.