Детерминированные и вероятностные системы

Система называется детерминированной, если можно точно указать характер осуществляемых ею преобразований сигналов для любого момента времени как в прошлом, так и в будущем.

В противном случае система называется случайной (вероятностной), причем характер преобразования сигналов системой может быть предсказан в вероятном смысле. Это значит, что можно сделать более или менее долгосрочный прогноз о возможных вариантах законов преобразования системы в будущем и указать вероятность появления каждого из них.

Как правило, случайный характер преобразования сигналов физической системы объясняется следующим:

а) случайным, непредвиденным заранее изменением физических и химических констант системы (старение, шлакование поверхностей нагрева и т.д.), которые приводят к изменению коэффициентов динамического уравнения системы;

б) практическая невозможность учета всех входных воздействий, возникающих в условиях реальной работы системы.

Реальные системы автоматического управления, как правило, являются нелинейными вероятностными системами, к которым в обычном виде не применим математический аппарат линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако в ряде практически важных случаев динамические свойства систем управления могут быть приближенно описаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, что позволяет с большей или меньшей точностью решать задачи анализа или синтеза, полагая, что они являются детерминированными. Необходимым условием этого является возможность линеаризации статических и динамических характеристик нелинейных систем.

§ 1-3 Линеаризация статических характеристик систем

Статическими характеристиками называются зависимости между входными и выходными величинами, характеризующие равновесное состояние того или иного процесса, т.е. такое состояние, когда входные и выходные величины не меняются во времени. Как уже отмечалось, реальные статические характеристики системы управления, строго говоря, являются нелинейными. Следовательно, значение выходной величины стационарной детерминированной статической системы в любой момент времени связаны нелинейной зависимостью со значениями входных воздействий в тот же момент времени:

. (11)

Однако при выполнении некоторых условий, нелинейную зависимость (11) можно приближенно заменить линейной, что существенно облегчает и упрощает исследование систем автоматического управления.

Предположим, что исходным значениям при исследовании АСУ соответствуют входные воздействия x₁(t), x₂(t),…x_n(t), отклонения которых от номинального режима x₁₀(t), x₂₀(t),…x_n0(t) незначительны, а функция (11) в окрестности этого режима непрерывна. Тогда выходная величина системы – y(t) будет также иметь отклонения в малой окрестности от начального состояния Y₀(t), соответствующего начальным значениям входов:

.

При этом, в силу непрерывности функции (11) последняя может быть представлена в окрестности точки Y₀(t) рядом Тейлора:

, (12)

причем, т.к. отклонения входных воздействий малы, приращениями выше первого порядка можно пренебречь. В результате этого исходная нелинейная зависимость (11) аппроксимируется приближенной линейной зависимостью вида:

(13)

или, записанная в приращениях к исходному режиму:

.

Здесь коэффициенты k будут равны частным производным от y по соответствующим x и называться коэффициентами передачи (коэффициентами усиления) системы по соответствующим каналам передачи воздействия:

x₁=x₁₀ x₁=x₁₀ x₁=x₁₀

… … …

… … … (14)

x_n=x_n0 x_n=x_n0 x_n=x_n0

Изложенная операция замены нелинейной функциональной зависимости приближенной линейной зависимостью называется линеаризацией функций.

На рис. 1 – 7 представлена замена графика действительной нелинейной функциональной зависимости между входом и выходом для системы с одним входом x(t) линейной зависимостью, характеризуемой касательной, проведенной к этому графику в точке исходных значений.

Н а основании вышеизложенного необходимо отметить следующие особенности линеаризованных зависимостей.

1. Без указания исходного режима, в окрестности которого произведена линеаризация, приближенное линейное уравнение не имеет смысла.

2. Линеаризация нелинейной зависимости приближенной линейной может быть осуществлена только для непрерывных функций.

3. При изменении исходного режима коэффициенты передачи линеаризованной зависимости могут менять свою величину, так как меняется угол наклона касательной к графику линеаризуемой функции.

§ 1-4 Линеаризация динамических характеристик систем

Динамическими характеристиками называются зависимости между входными и выходными величинами системы, имеющие место в переходном процессе, вызываемом изменением входной величины.

Рассмотрим линеаризацию динамических характеристик на примере объекта, представляющего собой бак, заполненный водой (рис. 1 – 8).

Предположим, в момент времени t=0 был прикрыт кран стояка – X_ст и разбаланс между стоком и притоком становится равным Q₀, т.е. приток воды в бак будет существенно больше, чем сток. Это вызывает увеличение уровня воды в баке (рис. 1 – 10) и, следовательно, ведет к увеличению гидростатического напора. Увеличение гидростатического напора, в свою очередь, приводит к увеличению стока воды из бака при той же степени открытия крана стока и уменьшению притока воды в бак (рис. 1 – 9).

Рост уровня воды в баке будет наблюдаться до тех пор, пока, при новом положении крана стока, расход воды со стороны притока и стока не станет равным между собой, определенным новым установившемся уровнем воды в баке. Найдем дифференциальное уравнение рассматриваемой системы, описывающее переходные процессы в ней.

За время t разбаланс между притоком и стоком изменится на величину, равную:

; (15)

здесь: S – площадь поперечного сечения бака;

y – текущее изменение уровня воды в баке;

Q_ПР – расход воды, подводимой к баку;

Q_СТ – расход воды из бака.

Преобразуем уравнение (15) к виду:

и, устремив t0, получим дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в системе:

(16)

Однако полученное уравнение является нелинейным, так как расход Q_ПР и Q_СТ является нелинейной функцией перепада давления и степени открытия клапана, т.е.

, (17)

где k₁ и k₂ – постоянные коэффициенты;

P_ПР – давление на входе в регулируемый участок (бак);

y – уровень воды в баке, равный y₀+y.

Воспользовавшись формулой (12), разложим подкоренное выражение в ряд Тейлора и, полагая, что отклонения y малы, отбросим все члены со степенями выше первой. В результате получим:

;

,

где и .

Подставляя полученные значения в (17), получим:

;

.

Отсюда (обозначив =k₁c₁ и =k₂c₂) находим:

.

Подставляя последнее выражение в (16), получим:

или

. (18)

Таким образом, дифференциальное уравнение (16) представлено в линеаризованном виде. Обозначив

и ,

запишем линеаризованное дифференциальное уравнение в наиболее употребляемой форме:

(19)

Коэффициент T в уравнении (19) называется постоянной времени объекта, т.е.

T – такое время, в течение которого регулирующая величина достигла бы своего конечного установившегося значения, если бы все время изменялась с постоянной начальной скоростью. Как видно из рисунка 1 – 10, постоянную времени находим, проведя касательную к точке, в которой скорость изменения выходной величины будет максимальной (данном случае при t=0).

k – коэффициент усиления (передачи) численно равен конечному относительному отклонению регулируемой величины при единичном возмущении, т.е. возмущении, вызванном отклонением регулирующего органа на единицу его перемещения от полностью открытого до полностью закрытого его состояния (и наоборот).

В результате решения дифференциального уравнения (19) находится переходный процесс в системе, который обычно называют кривой разгона, переходной характеристикой или временной характеристикой.

Промышленные объекты управления, переходная характеристика которых подобна изменению уровня воды в баке (рис. 1 – 8, 1 – 10), относятся к классу так называемых объектов с самовыравниванием. Объекты, которые с течением времени за счет изменения регулируемой величины, вызванного изменением количества подводимого (или отводимого) к объекту энергии или вещества, без вмешательства извне приходят к новому установившемуся состоянию равновесия (когда подвод энергии к объекту и отвод ее от объекта будут равны) называются объектами с самовыравниванием.

Промышленные объекты, у которых отклонения регулируемой величины не приводят к достижению нового установившегося состояния равновесия, называются объектами без самовыравнивания.

В качестве примера, объекта, не обладающего свойством самовыравнивания, может служить тот же бак с водой (рис. 1 – 8) в случае, если вода из бака откачивается насосом с постоянной производительностью. В этом случае изменение уровня воды в баке (изменение регулируемой величины) не будет влиять на количество откачиваемой насосом воды.

При анализе дифференциального уравнения (19) необходимо обратить внимание на тот факт, что в частном случае, когда на систему не действуют возмущения и производная обращается в нуль, получается линеаризованное уравнение y=kQ₀ статики.

Следовательно, статическая характеристика системы может быть найдена как частный случай динамической характеристики при условии, что все производные последней обращается в нуль.

§ 1-5 Исследование переходных процессов методом дифференциальных уравнений

Получение в линеаризованном виде дифференциальных уравнений описывающих поведение динамической системы при действии на нее возмущающих факторов, является первым и необходимым этапом на пути решения задачи анализа действующей системы управления, осуществляемой с целью исследования возможности достижения наиболее качественной работы системы, характеризуемой тем или иным критерием оптимальности. В частности, о качестве системы управления можно судить по виду переходного процесса, определяемому значениями постоянных коэффициентов линейных дифференциальных уравнений.

Выше отмечалось, что для линейной динамической системы связь между входом и выходом определяется линейным дифференциальным уравнением вида:

, (110)

где y(t) и x(t) – соответственно выход и вход системы,

a_n…a₀; b_m…b₀ – постоянные коэффициенты.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения вида (110) представляет собой сумму свободной и вынужденной составляющих:

(111)

легко определяемых при заданных начальных условиях и известной величине входного воздействия.

Свободная составляющая решения – y_св(t) является общим решением уравнения (110) без правой части:

, (112)

которое ищется в одном из следующих видов.

1. Если корни характеристического уравнения, получаемого из уравнения (112) заменой на оператор P:

(113)

будут действительными и различными, то свободная составляющая определяется выражением:

,

где c_k – произвольные постоянные, определяемые начальными условиями;

P_k – корни характеристического уравнения;

t – текущее значение времени.

2. Если характеристическое уравнение имеет корень P_k кратности e, то соответствующая этому корню свободная составляющая определяется из выражения:

.

3. Если характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней ( ; ), то решение свободной составляющей ищется в виде:

.

Вынужденная составляющая решения дифференциального уравнения характеризует собой установившейся режим работы системы и называется также установившейся составляющей, зависящей от вида функции x(t).

Свободная составляющая существует только в переходных и в устойчивых системах (т.е. системах, возвращающихся в первоначальное состояние после нанесения возмущения) со временем исчезает, поэтому ее называют также переходной составляющей или переходным процессом. Свободная составляющая совершенно не зависит от вида функции x(t), но всецело определяется внутренними свойствами самой системы.

При исследовании систем автоматического управления часто вместо исходных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами целесообразно переходить к алгебраической форме дифференциальных уравнений, которая является более универсальной и существенно облегчает теоретические исследования динамических систем. Для осуществления алгебраизации дифференциальных уравнений используется метод операционного исчисления, заключающийся в том, что в общем случае решение исходной системы линейных дифференциальных уравнений для оригиналов заменяется решением системы алгебраических уравнений для изображений. В этом случае дифференциальное уравнение (10) может быть записано также в операторном или символическом виде:

, (1 – 14)

где  символ дифференцирования;

Y(p) и X(p) – изображение выходной и входной величины.

Последнее выражение может быть формально представлено в виде:

. (115)

Обозначив

, (116)

получим удобную форму записи уравнения (110):

. (117)

Здесь функция W(p) называется передаточной функцией системы и представляет собой отношение изображение выхода к изображению входа.

Таким образом, решение уравнения (117), представляющего собой операторную форму записи линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, сводится к следующему.

По таблице изображений находится изображение входной величины, которое в общем случае связано с действительным значением входа интегралом:

, (118)

где p – комплексная переменная.

В результате алгебраического перемножения изображения входной величины и передаточной функции системы находится изображение выходной величины – Y(p). По таблицам изображений находится оригинал (действительное значение) выходной величины, в общем случае связанный с изображением интегралом:

. (119)

Полученное в результате последней операции нахождения оригинала по его изображению значение выхода – y(t) и есть решение исходного дифференциального уравнения.

Пример: Необходимо найти переходный процесс в системе, преобразующей входное воздействие в соответствии с дифференциальным уравнением (19):

, (а)

где x(t) – вход;

y(t) – выход;

T – постоянная времени системы;

K – коэффициент усиления системы.

Полагая, что на вход системы подается единичное ступенчатое воздействие , при нулевом начальном значении Y₀=0 и t0 имеем следующее уравнение:

. (б)

Для нахождения свободной составляющей решения запишем характеристическое уравнение, имеющее вид:

. (в)

Так как характеристическое уравнение имеет один корень , то свободная составляющая решения находится в виде:

,

где c – произвольная постоянная;

t – текущее значение времени;

T – постоянная времени системы.

Вынужденную составляющую уравнения (б) будем искать в виде постоянной величины Y_вых(t)=A, так как правая часть исходного дифференциального уравнения есть величина постоянная. Тогда уравнение (б) запишется в виде:

,

характеризующем установившийся режим работы системы. Таким образом, общее решение уравнения (б) определяется выражением:

(г)

в котором неизвестной является лишь произвольная постоянная c , которую можно найти, зная начальные условия. В данном случае начальное отклонение выхода должно отсутствовать, так как в правой части уравнения (а) производные отсутствуют, и следовательно, начальными условиями для решения уравнения (б) являются:

t=0 и y(t)=0.

Подставив начальные условия в уравнение (г), получим:

,

Откуда находится произвольная постоянная c:

.

Подставив произвольную постоянную в уравнение (г), находим окончательное решение дифференциального уравнения системы:

.

Зная коэффициенты уравнения и, подставляя в него текущее значение времени, можно найти переходный процесс в системе, имеющий вид, представленный на рис. 1 – 11.

§ 1-6 Исследование переходных процессов методом динамических характеристик

В инженерной практике исследования систем автоматического управления не всегда целесообразно использовать метод дифференциальных уравнений из-за сложности и громоздкости последнего при решении дифференциальных уравнений высокого порядка, которыми описываются промышленные системы управления. В этих условиях предпочтительнее пользоваться методом динамических характеристик, описывающих (как и дифференциальные уравнения) свойства систем управления.

К достоинствам метода динамических характеристик, обуславливающих их широкое распространение, следует отнести следующее:

1. динамические характеристики могут быть найдены не только аналитически, но и экспериментальным путем;

2. операции с динамическими характеристиками, осуществляемые, как правило, графическим путем существенно проще, чем операции с дифференциальными уравнениями.

Динамические характеристики определяют поведение линейной (или линеаризованной) системы при некоторых заранее заданных типовых входных воздействиях. Обычно в качестве типовых входных воздействий выбираются такие воздействия, суммой которых можно представить любое входное воздействие, могущее возникнуть в процессе работы реальной системы. В результате, согласно принципу суперпозиции, реакция линейной системы на любое входное воздействие может быть найдена суммированием с соответствующими весами реакций на выбранное типовое воздействие. Из вышеизложенного видно, что понятие «динамическая характеристика» не имеет смысла для нелинейных систем, так как последние не подчиняются принципу суперпозиции.

Как правило, в качестве входного типового воздействия используется одна из следующих функций.

1. Единичная ступенчатая функция – I(t), характеризуемая мгновенным перемещением регулирующего органа на 100% от диапазона регулирования.

2. Дельта-функция – – это производная от единичной ступенчатой функции, представляющая собой предел, к которому стремится импульсная функция.

3. Гармонические колебания - acost+bsint.

В зависимости от вида подаваемого на вход системы типового воздействия динамические характеристики линейных систем бывают:

1. Переходные характеристики, определяемые в результате подачи на вход системы типового воздействия в виде единичной ступенчатой функции или дельта-функции.

2. Частотные характеристики, определяемые в результате подачи на вход системы типового воздействия в виде гармонических колебаний.