24 Распределение х2 Стьюдента и Фишера.

Рассмотрим распределение случайных величин, которые строятся путем функционального преобразования нормальных случайных величин и используются в математической статистике.

1. пусть независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина называется распределенной по закону с n степенями свободы.

M₀ M

При n распределение медленно стремится к нормальному.

2. Пусть независимы и , тогда случайная величина называется распределенной по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента схожа с нормальной.

При k распределение Стьюдента быстро стремится к нормальному.

1.Пусть независимы и имеют распределение с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

2.Тогда распределение ~F(k₁,k₂) называется распределением по закону Фишера с k₁ и k₂ числом степеней свободы.

Замечание. 1) cлучайная величина Фишера строится так, что она всегда больше 1. 2) k₁ относится к числителю.

Т.о. эти случайные величины представляют собой функциональные преобразования нормальных случайных величин.

26. Критерий согласия Пирсона. Критерий проверки гипотез о предполагаемом виде распределения называется критерием согласия. Наиболее распространенный из них – критерий согласия Пирсона или критерий .(хи квадрат)

Пусть имеется независимая выборка (x₁,…., x_n) и пусть есть основание предположить,что он распределен по некоторой функции F(x).

Найдем максимальное x_max и минимальные x_min значения значение выборки, размах варьирования R= x_max–x_min.

Разобьем R на несколько частичных интервалов одинаковой длинны n: k=3,32lg(n)

Пусть в результате получили интервалы z₀<z₁<…<z_k

Подсчитаем число вариант n_i попавших в i-ый интервал.

Исходя из предположения о виде распределения F(x) вычислим теоретические частоты.

На основании теоремы Бернулли Сравним эмпирические и теоритические частоты с помощью случ величины.

Можно показать, что при H₀ случайная величина имеет распределение (k-l-1) с числом степеней свободы (k-l-1).

Где k – число интервалов, l – число параметров предполагаемого распределения.

Проверка H₀ осуществляется следующим образом:

1.вычислить наблюдаемое значение критерия

2.по таблице критических точек распределения по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (k-l-1)находят _кр

а. Если _набл< _кр, то говорят, что нет основания отвергнуть H₀, следовательно признак X имеет распределение F(x).

б. Если _набл> _кр, то H₀ отвергаем и принимаем H₁.

Следовательно X имеет другое распределение.

Замечание: Для того, чтобы эмпирическая функция распределения лучше приближалась к теоритической. Число интервалов k должно быть большим. Однако, построение критерия основано на немалых частотах n_i.Если некоторые частоты малы (<5), то соседние интервалы объединяются и соответствующие частоты складываются. В этом случае число степеней свободы уменьшается на 1.

27. Вычисление теоретических частот для нормального распределения. Предположим, что признак Х имеет нормальное распределение. Находим x_max, x_min, R= x_max–x_min и z₀<z₁<…<z_k.

Перейдем к дискретному ряду для вычисления числовых характеристик, где Z_i^*– середины построенных интервалов

Для подсчета оценок параметров a и перейдем к дискретному ряду.

X			…
ni	n1	n2	…	nn

Найдем оценки параметров

1.

2. Счит вероятности попадания случ величины в построенные интервалы

3,Теоритическая частота

Постр табл

Замечания.

1. т.к. норм распределение принимает значения от –∞ до +∞, то будем считать, что z₀=–∞, z_k=+∞

2. функция Лапласа нечетная и ассимптотическая

Ф₀(–z) = –Ф₀(z); Ф₀(+∞)=0,5

30. Проверка гипотез о достоверности выборочного коэффициента корреляции. Пусть на выборке объема n найден коэффициент корреляции X и Y и он отличен от 0. Возможно, при этом, что генеральный коэффициент корреляции равен 0, а выборочное отличие от 0 случайно.

Проверим

H0: =0 H1:

Для проверки гипотезы H₀ используем свойство T

При справедливости H₀ эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с (n-2) числом степеней свободы. Проверка H₀ осуществляется следующим образом 1.вычисляется наблюдаемое значение критерия

2.по таблице критических точек распределения Стьюдента

max

|Тнабл|>Tкр, то H₀ отвергается и принимается H₁, следовательно X и Y связаны между собой достоверной корреляционной зависимостью. |Тнабл|<Tкр, нет основания отвергнуть H₀, то недостоверно отличается от 0 (случайно) и между X и Y нет корреляционной зависимости.

Методика построения уравнения регрессии