17. Выборочный метод.

Пусть изучается некоторые количественный признак Х и пусть для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть. Совокупность объектов, взятых для исследования называется выборочной или выборкой. Совокупность объектов из которых взята выборка называется генеральной. Число объектов совокупности называется объемом. Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность,ее объекты должны браться случайно и независимо друг от друга. Пусть в выборке значении x₁ встретилось n₁ раз, x₂-n₂,….,x_k-n_k раз.

Возможные значения x_i – варианты, n_i – их частоты, ∑n_i объем выборки n_i/n =w_i– относительные частоты. Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.

12. Основные дискретные распределения случайных величин.1. Биноминальное распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Производится последовательность n независимых испытаний в каждом из которых возможно только 2 исхода.

P(A)=p P( )=q p+q=1

возможное распределение этой величины.

Вероятность этих значений вычисляется по формуле Бернулли. .

Найдем МО и DX

, где -число появлений события в i-ом (одном) испытании.

Закон распределения

	0	1
P	q	p

МО:

M =0*q+1*p=p ; M =np

Чтобы найти дисперсию

M ₂=0²*q+1²*p=p

D = M _2- (M )²=p-p²=p(1-p)=pq

Так как дисперсии независимы

D =npq

2. Распределение Пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Для определения вероятности k пользуется ф. Бернулли. Если вероятность мала, а число испытаний велико то формулой Пуассона. =0,1,...,m

P_m=

Mξ=∑m*a^m/m!*e^-a =a

Mξ²=∑m² * a^m/m!*e^-a =a+a²

В распределении пуассона МО и Дисперсия равны а

3. Геометрическое распределение.

Производится последовательность независимых испытаний в каждом из которых только 2 исхода

P(A)=p P( )=q p+q=1

Испытание производится до появления события А

Вероятности этих значений

P_m=q^m-1p

P₃=q₂p

; S = . Если ряд сходится его можно почленно дифференцировать.

14. Нормальное распределение. Нормальным (распределением Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.

(cигма не под корнем!!)

Нормальное распределение определятся 2 параметрами . а – мат ожидание, - квадратическое отклонение нормального распределения.

Можно показать, что

,

При получим стандартное нормальное распределение.От произвольного перейти к стандартному можно с помощью преобразования .Функция стандартного нормального распределения имеет вид.

Часто вместо Ф(x) приводится функция Лапласа (нечетная)

F(x)=

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

По формуле Лапласа имеем

Вероятность заданного отклонения от матожидания для нормальной случайной величины

.

Правило трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то с вероятностью, близкой к единице, абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.