2.2. Закономерности распределения вероятностей отказов

Отказы в строительном производстве представляют со­бой случайные величины, которые могут быть дискретными и непрерывными в зависимости от физического смысла иссле­дуемого явления, и характеризуются функциями распределе­ния вероятностей.

Если - случайная величина, то вероятность того, что она примет значение, меньшее некоторого числа х

,

называется интегральной функцией распределения веро­ятностей или законом распределения вероятностей случайной величины отказов.

Для случайных дискретных величин F(x) есть неубывающая ступенчатая функция; для непрерывных случайных величин F(x) непре­рывная функция для всех значений х.

Производная от f(x)=F(x) , если она существует, называ­ется плотностью (или функцией) распределения вероятностей отказов.

Изучение теоретических законов распределения случайных величин и сфер их пригодности для различных строительных процессов и методов организации строительно­го производства весьма важно, так как позволяет резко сокра­тить объем статистического материала и продолжительность наблюдений для описания поведения числа и величины отка­зов.

Равномерное распределение справедливо для тех случа­ев, когда случайное событие лежит в определенном времен­ном интервале, причем появление его в любой момент време­ни равновероятно.

Пусть благоприятное событие распределено равномерно на временном интервале Т и плотность распределения постоянна f(x)=const на всем участке действия закона от до . Вероятность события равна 1. Отсюда плотность распределения:

Интегральная функция распределения:

Математическое ожидание случайной величины, имеющее равномерное распределение:

Дисперсия распределения:

, т.е. дисперсия равномерного распределения растет пропорционально квадрату интервала, на котором возможно появление отказов процесса.

Показательное распределение является одним из наибо­лее распространенных в строительном производстве благодаря своей простоте и приблизительному соответствию распределению отказов сложных многоэлементных систем. Накоп­ление сведений о проведении разнообразных взаимосвязан­ных строительных процессов деятельности строительно-производственных подразделений приводит к другим законам, более точно отражающим реальное распределение, но одновременно во много раз усложняющим вычисления.

Функция распределения показательного закона записывается следующим образом:

_F(x) =

Закон справедлив для Х > 0 и зависит только от одном параметра , характеризующего интенсивность (опасность) отказов.

Плотность распределения при показательном распределении:

f(x) = dF(x)/d(x} = ,

т. е. представляет собой монотонно убывающую функцию.

Математическое ожидание:

Дисперсия показательного распределения:

т.е. - это свойство показательного распределения можно использовать при оценке возможности его применения для описания экспериментальных данных.

Распределением Вейбулла нередко пользуются при опре­делении надежности ряда процессов. Функция записывается в следующем виде:

Это равенство справедливо для х>0, но зависит от двух параметров и . При распределение Вейбулла переходит в показательное.

Рис. 2.2.1. Законы распределения вероятностей Вейбулла (а), Гаусса (б)

Нормальное распределение широко применяют в теории надежности для описания событий, зависящих от многих фак­торов, каждый из которых слабо влияет на распределение случайного события. По нормальному закону распределяются параметры выработки исполнителей и бригад на строительных процессах, продолжительности технологических стадий и строительства типовых объектов и др.

Плотность распределения нормального закона записыва­ется в следующем виде:

,

где - математическое ожидание;

- дисперсия распределения.

Чем больше дисперсия, тем более плоской получается кривая распределения.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на заданный интервал измерения параметра х от до обычно определяется интегрированием плотности распределения.

Распределение Пуассона наиболее успешно использует­ся для определения вероятности дискретных событий или по­явления потока событий. Если независимые события следуют с конкретной средней частотой, то расчет вероятности Р_т , т.е. вероятности того, что за какой-то отрезок времени t произойдет ровно т событий, производится по закону Пуассона.

Закон Пуассона записывается в следующем виде:

Распределение Пуассона имеет следующее свойство: математическое ожидание и его дисперсия равны одной и той же величине .

Рис. 2.2.2. Закон распределения вероятностей Пуассона

Биноминальным называется такое распределение, при котором его члены получаются в результате разложения би­нома (р + q)ⁿ, где р и q - вероятности появления и непоявле­ния события в каждом из п опытов. Очевидно, что сумма всех членов указанного разложения тождественно равна 1, по­скольку (р + q)ⁿ=1 ⁿ, а каждый член разложения представляет собой определенную вероятность, рассчитанную по формуле:

,

где - число сочетаний из n по m; q = 1 - p.

В курсовой работе для описания возможных отказов для комплекса работ по балластировки участка пути было принято нормальное распределение, т.к. при производстве работ на данную систему влияет большое количество случайных факторов.