Пример 5
Найти предел
функции
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить пределы функций.
7)
8)
;
9)
10)
11)
12)
10. Замечательные пределы
При вычислении пределов бывает удобно использовать следующие конкретные пределы, обладающие, тем не менее, универсальностью применения и поэтому называемые замечательными (универсальность заключается в том, что вместо переменной х можно подставлять бесконечно малые функции).
Определение 10.1
Пусть х - угол, выраженный в радианах. Тогда
(10.1)
Равенство (10.1) называют «первым замечательным пределом»
Следствие 1:
При любых вещественных
a
и
b
(
)справедливо
равенство:
(10.2)
Не ограничивая
общности, можно считать, что
Пример 1:
Определение 10.2
Равенство вида
(10.3)
называется «вторым замечательным пределом», где e=2, 718281847259… - это иррациональное число, являющееся трансцендентным, т.е. не являющимся корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Следствие 2:
(10.4)
Следствие 3:
,
(10.5)
Следствие 4:
,
(10.6)
Следствие 5:
(10.7)
Пример 2:
Вычислить
Решение: убедившись
сначала, что при указанном изменении
аргумента функция представляет степень,
основание которой стремится к единице,
а показатель – к бесконечности (случай
),
далее преобразуем функцию так, чтобы
использовать второй замечательный
предел.
.
Пример 3:
Вычислить
Введем новую переменную у=-2х. Тогда
Пример 4:
.
В ряде задач
требуется вычислить пределы, внешне
напоминающие второй замечательный.
Однако в этих пределах отсутствует
неопределенность вида
.
Пример 5:
Вычислить предел
.
Решение.
Поскольку
,
имеем
Вопросы для самоконтроля
Запишите первый замечательный предел.
Запишите второй замечательный предел.
Определите число е. Укажите его приближенное значение с точностью до десятичного знака.
Упражнения для самостоятельной работы
Вычислить пределы функций
7.
8.
9.
10.
11.
12.
11. Образец решения контрольных заданий
1. Доказать, что
.
Начиная с какого
n,
величина
не превосходит 0,01.
Решение:
Используя определение
предела числовой последовательности
на языке «ε - δ»:
зададим
произвольно сколь угодно малое число
и покажем, что для него можно найти такое
число
,
что для всех членов последовательности
с номерами
будет выполняться неравенство
(1)
Для отыскания
числа
решим неравенство (1) относительно
.
Так как
,
то от этого неравенства переходим к
следующему неравенству
Из
последнего выражения следует, что за
можно принять число удовлетворяющее
условию
(2)
Таким образом, при
произвольном
найдено число
,
такое, что для любого
выполняется неравенство (1). Это и означает
(по определению предела последовательности),
что
- предел рассматриваемой последовательности.
Придавая
конкретное значение в правой части
неравенства (2), можно указать соответствующий
номер, начиная с которого все члены
последовательности будут находиться
в
-окрестности
точки
.
Например, если
,то
.Следовательно,
начиная с номера
,
т.е. с
,
.
В самом деле,
и
,
но
и
.
2. Вычислить пределы функций.
1)
=
2)
=
3)
=
=
4)
=
5)
=
6)
7)
=
8)
;
Пусть
,tg
=
,тогда
Т.е.
tg
=-1,
,
следовательно
=-
3. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики
f(x)=
б)
а)
f(x)=
Данная
функция определена на промежутках
и непрерывна. Разрывы могут быть только
в точках х1=-1
и х2=1.
Исследуем данную функцию в точках х1=-1 и х2=1, для чего вычислим односторонние пределы в этих точках.
Если х1=-1,то:
,
,т.е.
,
значит х=-1
– точка разрыва I
рода.
Если х2=1,то
,
,тогда
,
значит в точке х=1
функция непрерывна
б)
Для точки х=2 имеем
;
.
Значит, в точке х=2 функция f(x)терпит бесконечный разрыв, т.е. х=2 – точка разрыва II рода.
