Вопросы для самоконтроля

1. Что называется приращением аргумента?

2. Что называется приращением функции?

3. Какая функция называется непрерывной в точке х₀?

4. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Что можно сказать о непрерывности этой функции в точке х₀?

5. Какая функция называется непрерывной на интервале?

6. Что называется точкой разрыва функции?

7. Какая точка называется точкой разрыва первого рода (второго рода) функции f(x)?

8. Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции, состоящую из непрерывных функций.

Упражнения для самостоятельной работы

Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики

1. ; 2) f(x)=

8. Неопределенные выражения

Основные элементарные функции непрерывны на своих областях определения. Это означает, что для вычисления предела элементарной функции в точке, принадлежащей ее области определения, достаточно просто вычислить значение функции в этой точке:

.

Более сложным оказывается случай, когда точка х₀ не принадлежит области определения функции. Например, если функция представляет собой отношение двух элементарных функций, причем предел делителя равен 0, то воспользоваться указанным выше приемом нельзя. Этот пример, несмотря на кажущуюся «частность» ситуации, является принципиальным, поскольку лежит в основе определения понятия производной. Рассмотрим его подробнее.

Итак, нас интересует , причем (отметим, что точка х₀ в дальнейших рассуждениях не обязана быть конечной). Если при этом , то дробь можно представить в виде произведения функции g(х), имеющей ненулевой предел, и бесконечно большой функции (как обратной в арифметическом смысле к бесконечно малой), тогда такое произведение является бесконечно большой функцией, т. е. ее искомый предел равен .

В случае говорят о неопределенном выражении или неопределенности . В этом случае искомый предел зависит от конкретного вида функций g(х) и h(x) и представляет собой часто непростую вычислительную задачу. Вычисление такого предела (или установление его отсутствия) называется раскрытием неопределенности.

Неопределенное выражение - не единственная неопределенность. Существуют также неопределенности .

9.Некоторые правила раскрытия неопределенностей.

Правило 1.

Чтобы раскрыть неопределенность , заданную отношением при х , где f(х) и (х) в общем случае - сложные степенные или показательные функции, необходимо:

• в случае степенных функций выносить за скобку в числителе и знаменателе дроби х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби;

• в случае показательных функций за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

Пример 1. Найти .

Решение:

А= = . Вынося за скобку и в числителе и в знаменателе х в наибольшей степени, получим

А= так как величины бесконечно малые при х

Правило 2

Чтобы раскрыть неопределенность , заданную отношением двух многочленов P(х) и Q(х) при х х₀, необходимо числитель и знаменатель умножить на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

Пример 2.

Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: числитель - по формуле сокращенного умножения a²-b²=(a-b)(a+b), а знаменатель – по формуле разложения квадратного трехчлена на множители при D=b²-4ac 0:

ах²+bх+с=а(х-х₁)(х-х₂), где х_{1,2= .}

Получим

= .

После сокращения дроби следует подставить предельное значение х в сокращенную дробь. Получим А=

Правило 3

Рассмотрим примеры с неопределенностью вида . Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится к неопределенности вида после приведения дробей к общему знаменателю. Если упомянутая функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к неопределенности вида путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

Пример 3

Вычислить

Правило 4

Неопределенность вида символически можно свести к виду либо к так:

= = , или = = .

Правило 5

Неопределенности вида сводятся к неопределенностям типа _, так как, используя основное логарифмическое тождество, получаем:

, где а_n>0_, а_n≠1

Правило 6

Рассмотрим неопределенность вида .В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела».

Замечание.

При раскрытии неопределенностей вида и (и только в этих случаях!) для дифференцируемых функций f(х) и g(х) можно применять следующее правило Лопиталя: предел отношения таких функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (точка х₀ при этом может быть как конечной, так и бесконечной):

Пример 4

Вычислить

В ряде случаев правило Лопиталя можно применять несколько раз.