Вопросы для самоконтроля

1. Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями?

2. Что значит сравнить две бесконечно малые функции?

3. Какие две бесконечно малые функции называются эквивалентными?

Упражнения для самостоятельной работы

Выяснить, какие из бесконечно малых при х→0 имеют более высокий порядок малости, чем х²; более низкий порядок, чем х²; тот же порядок малости, что и х².

1. 1,5х³;

2. х^-1;

3. 

6. Односторонние пределы

Чтобы ввести понятие односторонних пределов функции, прежде необходимо вспомнить определение предела функции f(x)в точке х₀ (определения 4.1., 4.3):

А=

В определении предела функции не указывается, каким образом аргумент х стремится к числу х₀. Если предел в точке х₀ существует, то он не зависит, стало быть, от способа приближения аргумента х к точке х₀. Пусть переменная величина х обозначает движущуюся точку на оси абсцисс. Тогда движение этой точки к х₀ может происходить справа или слева. Результат движения точки справа к х₀ будем обозначать х₀+0, а результат движения слева к х₀ будем обозначать х₀-0, где знаки +0 и -0 играют роль указателей направления движения точки к х₀. В обоих случаях, естественно, результатом движения точек будет число х₀.Дадим определение для общей ситуации.

Определение 6.1

Число В называется правым пределом функции f(x) при стремлении х к точке х₀ справа (т.е. по значениям х >х₀), если для любого ε>0 найдется такое δ(ε), что для всех х, удовлетворяющих неравенству0< x- х₀ <δ , выполняется неравенство |f(х)-А| <ε. Правый предел символически обозначают так: .

Определение 6.2

Число С называется левым пределом функции f(x) при стремлении х к точке х₀ слева (т.е. по значениям х <х₀), если для любого ε >0 найдется такое δ(ε) >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству -δ< x- х₀ <0 , выполняется неравенство |f(х)-С| <ε

Обозначение левого предела: .

Из определения предела функции вытекает следующее утверждение: если предел функции в точке х₀ существует, то существуют и равны между собой левые и правые пределы функции в этой точке. Верно и обратное. Если левый и правый пределы функции в точке х₀существуют и равны числу А, то предел функции в точке х₀ существует и тоже равен А.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение правого предела функции f(x) при х → х₀+0; левого предела функции f(x) при х → х₀-0.

2. Когда существует предел функции f(x) в точке х₀?

7. Непрерывности функции. Точки разрыва

Если при постепенном изменении аргумента функция так же меняется постепенно, то говорят, что функция непрерывна. При этом малому изменению аргумента отвечает малое изменение функции.

Определение 7.1

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если выполняются 3 условия:

1⁰. Функция у=f(x) обязательно должна быть определена в точке х₀;

2⁰. Должен существовать предел функции у=f(x) в точке х₀,т.е. 3⁰. Значение предела должно совпадать со значением функции в точке х₀, т.е.

Нарушение хотя бы одного из этих условий означает отсутствие непрерывности функции f(х) в точке х₀. В этом случае точка х₀ называется точкой разрыва функции f(х).

Определение 7.2

Функция у=f(x) называется непрерывной на интервале, если она определена и непрерывна в каждой точке интервала.

Замечание.

Геометрически непрерывность функции на интервале означает, что график этой функции на данном интервале есть сплошная линия без скачков и разрывов. Другими словами, отдельные точки на графике непрерывной (на интервале) функции можно на данном интервале соединять сплошной линией.

Если в каких-либо точках интервала, функция не является непрерывной, то такие точки называются точками разрыва.

Пример 1

Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=0, в которой функция не определена. Таким образом, точка х=0 есть точка разрыва функции , т.к. в определении непрерывной функции участвует значение функции в данной точке, а оно в точке х=0 не определено.

Пример 2

Точка разрыва функции служит точка х=0, в которой пределы функции слева и справа существуют, но не равны между собой, т.е. предел функции в точке х=0 не существует.

Действительно,

Пример 3

Точками разрыва функции будут точки х=1и х=-1, в которых значения функции не определены и, следовательно, не выполняется определение непрерывности функции в точке.

Замечание.

Элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены. Отсюда следует, что точки разрыва элементарных функций могут служить только точки, в которых эти функции не определены (пример 3).

Свойство (непрерывных функций)

Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, а функция g(y) непрерывна в точке f(х₀), то суперпозиция этих функций g(f(x)) непрерывна в точке х₀.

Помимо понятия непрерывности функции в точке часто используется понятие непрерывности функции на множестве.

Определение 7.3

Функция называется непрерывной на некотором множестве, являющемся подмножеством области определения этой функции, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение 7.4

Если в точке х₀ существует конечный , но он не равен значению функции f(х₀),то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва.

Определение 7.5

Если у функции f(х) в точке х₀ существуют и конечны оба односторонних предела, но они не равны между собой, то такая точка х₀ называется точкой разрыва первого рода.

Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода.

Таким образом, в точке разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Из соотношения (7.1) сразу следует, что , т.е. в непрерывных функциях возможен предельный переход под знаком функции.

Пример 4

Исследовать данную функцию на непрерывность и построить её график:

Функция f(x) определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках х₁=0, х₂=2 Для точки х₁ имеем

, , f(0)=x²=0

_{т.е. функция f(x) в точке х1=0 имеет разрыв первого рода.}

Для точки х₂=2 находим:

, , f(2)=(x-1)²=1

т.е. в точке х₂=2 функция также имеет разрыв первого рода.

График данной функции изображен на рисунке.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность в точках х₁=3, х₂=4

Для точки х₁ =3 имеем:

,

т.е. в точке х₁ =3 функция f(x)терпит бесконечный разрыв (х₁=3 - точка разрыва второго рода).

Для точки х₂=4 имеем:

,

,

f(4)=8^1/(4-3)+1=9

Следовательно в точке х₂= 4 функция f(x)непрерывна.