4.Определение предела функции

Пусть функция f(x) определена на промежутке X, число а принадлежит промежутку X или является концевой точкой этого промежутка.

Определение 4.1(определение предела функции по Коши)

Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ(ε), что для всех значений х Є Х, удовлетворяющих условию 0< |x- х₀ | <δ, выполняется неравенство |f(х)-А| <ε ,т.е.

А= , (4.1.)

Тот факт, что число А является пределом функции f(x) в точке х₀ записывается так: А= .

О тметим, что значение функции в самой точке х₀ не влияет на значение предела. Более того, функция может быть и не определена в точке х₀.

Смысл понятия предела можно проиллюстрировать на рисунке 1.

С

Рисунок 1

коль бы малым ни взять положительное число ε, всегда найдется такое положительное число δ, что значение функции f(x) во всех точках интервала (х₀ - δ, х₀ + δ), за исключением, быть может, самой точки х₀, принадлежит интервалу (А- ε, А+ ε).

Определение 4.2(определение предела функции по Гейне)

Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀, если для любой последовательности {х_n} точек множества Х, не равных х₀, из условия х_n→а следует условие:

f(x_n) →А

Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.

Все определения предела функции, сформулированные выше можно обобщить в одном общем определении

Определение 4.3

Запись вида А= означает, что функция f(x) имеет предел, равный A при x →х₀, если с приближением значения аргумента x к числу х₀ значение функции f(x) как угодно близко приближается к числуA.

Свойства предела последовательности, перечисленные в п.3, естественным образом переносятся на общее понятие предела функции. При этом понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций вводятся аналогично. Нужно только помнить, что при разных значениях точки х₀ могут получаться и разные значения предела.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется пределом функции в точке?

2. Определите предел функции на бесконечности

3. Может ли функция f(x)иметь два различных предела при х→ х₀?

4. Чему равен предел постоянной величины?

5. Чему равен предел: а) суммы; б) разности; в) произведения функций f(x) и g(x)?

6. Чему равен предел частного функций f(x) и g(x), имеющих предел при х→ х₀, если lim g(x)≠0 (х→ х₀)?

7. Какая функция f(x) называется бесконечно большой (бесконечно малой) функцией при х→х_0,при х→+∞( х→-∞)?

5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых.

Определение 5.1

Функция (х) называется бесконечно малой функцией при х→х₀, если .

Определение 5.2

Функция g(х) называется бесконечно большой функцией при х→х₀, если

Подчеркнем роль предельного значения аргумента х₀. Одна и та же функция может быть бесконечно большой при х→ х₀₁ и бесконечно малой при х→ х_02.

Пример:

Функция у=lnx является бесконечно малой при х→1 и бесконечно большой при х→+0.

Теорема 1

а) если функция (х) - бесконечно малая при х→ х₀ и (х)≠0 для всех х, то функция - бесконечно большая при х→ х₀;

б) если функция g(х) - бесконечно большая при х→ х₀ , то функция - бесконечно малая при х→ х₀.

Теорема 2

а) алгебраическая сумма, произведение бесконечно малых функций при х→ х₀ также бесконечно малые функции при х→ х₀;

б) произведение бесконечно малой функции при х→ х₀ на постоянную величину есть бесконечно малая функция при х→ х₀;

в) произведение бесконечно малой функции при х→ х₀ на функцию, ограниченную в окрестности точки х₀ есть также бесконечно малая функция при х→ х₀.

Определение 5.3

а)если и А – число, отличное от нуля, то говорят, что (х) и β(х) – бесконечно малые функции одного порядка малости.

Когда А=1, функции (х) и β(х) называют эквивалентными бесконечно малыми функциями при х→ х₀ и пишут (х)~ β(х) при х→х₀;

б) если ,то говорят, что (х) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем β(х);

в) если то (х) - бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем β(х)

Пример:

Выяснить, какие из бесконечно малых при х→0 имеют более высокий порядок малости, чем х; более низкий порядок, чем х; тот же порядок малости, что и х:

1. 10х;

2. х³;

3. 

Решение:

Вычисляя пределы отношения каждой данной бесконечно малой к бесконечно малой х, находим:

1. значит величины 10х и х – есть бесконечно малые одного _{порядка малости;}

2. значит величина х³ является бесконечно малой более высокого порядка малости, по сравнению с х;

3. значит величина - бесконечно малая более низкого порядка малости, чем х.