Вопросы для самоконтроля

1. Что означает следующая запись ?

2. Какие последовательности называются сходящимися, расходящимися?

3. Какие последовательности называются бесконечно малыми, бесконечно большими?

Упражнения для самостоятельной работы

1. Исходя из определения предела последовательности, доказать, что .

2. Вычислить пределы последовательностей:

а) б)

3.Свойства предела последовательности

1. Последовательность не может иметь два различных предела.

2. Пусть даны последовательности: , причём а , где а<в, тогда найдется такой номер N, начиная с которого для .

3. (Теорема о сжатой переменной)

Пусть заданы последовательности и и , удовлетворяющие неравенствам ,где n=1, 2, … Причём Тогда существует .

Определение 3.1

Пусть заданы последовательности {x_n}, {y_n}.Тогда суммой, разностью, произведением этих последовательностей называются соответственно последовательности: {x_n+y_n}; {x_n-y_n}; {x_ny_n} . Если же y_n≠0, где n=1, 2,…. то частным заданных последовательностей называется последовательность: { }. Произведением последовательности на постоянную величину С называется последовательность {Cx_n}.

4. Пусть дана последовательность х_n=C, где С - const . Данная последовательность имеет предел равный С, т.е. .

5. Алгебраическая сумма двух сходящихся последовательностей сходится, причем к сумме пределов этих последовательностей, т.е., если даны две последовательности{x_n}, {y_n}, причем , , тогда .

6. Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся, то справедливо равенство: .

Следствие 1. Произведение конечного числа сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность.

Следствие 2. Если последовательность {x_n} сходится, то для любой постоянной величины С последовательность {Cx_n} тоже сходится и .

Следствие 3. , где -некоторое натуральное число, a {x_n} – сходящаяся последовательность.

7. Если {x_n} и {y_n} ,где n=1, 2, … сходящиеся последовательности : ,тогда существует предел частного заданных последовательностей, причём

8. Пусть даны числовые последовательности {x_n}, {y_n}, причем .Если{x_n} - бесконечно малая последовательность, т.е. , то ,т.е последовательность {у_n } - бесконечно большая последовательность. Обратное утверждение верно, т.е. последовательность, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой.

9. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность (последовательность, для которой существует такое положительное число L, что для всех номеров n выполняется неравенство: |х_n| ≤L) является бесконечно малой последовательностью.

10. Теорема

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Определение 3.2

Последовательность {x_n} называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется неравенство х_n ≤ x_n+1 (х_n ≥ x_n+1).Эти последовательности также называются неубывающей (невозрастающей).

11. Если последовательность {х_n} - неубывающая и ограничена сверху (существует такое число М, что для всех номеров n выполняется неравенство х_n ≤ М), то она сходится. Если последовательность {х_n} невозрастающая и ограничена снизу (существует такое число m, что для всех номеров n выполняется неравенство х_n ≥ m), то она сходится.

12. Сумма бесконечно большой и ограниченной (в частности, сходящейся) последовательностей является бесконечно большой последовательностью.

13. Сумма двух бесконечно больших последовательностей одинакового знака является бесконечно большой последовательностью того же знака.

14. Произведение бесконечно большой последовательности и последовательности, сходящейся к ненулевому числу, является бесконечно большой последовательностью.

15. Произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью.