Авторы – составители: Косенко И.В., Петухова О.Е.

Пределы и непрерывность функции. Вычисление пределов с помощью системы Mathcad.ч.1. Пределы и непрерывность функции: учебное пособие для студентов технических и экономических специальностей.

Содержание

	Введение…………………………………………………………….	4
1.	Понятие функции и последовательности…………………………	4
2.	Определение предела последовательности………………………	5
3.	Свойства предела последовательности…………………………..	8
4.	Определение предела функции……………………………………	10
5.	Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых………………………………………………….	11
6.	Односторонние пределы…………………………………………..	13
7.	Непрерывность функции. Точки разрыва……………………….	14
8.	Неопределенные выражения………………………………………	18
9.	Некоторые правила раскрытия неопределенностей…………….	19
10.	Замечательные пределы……………………………………………	22
13.	Образец решения контрольных заданий…………………………	25
14.	Варианты контрольных заданий………………………………….	28
15.	Литература………………………………………………………….	37

Введение

Понятие предела – основное в математическом анализе. Все остальные понятия (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость) определяются при помощи предела.

1.Понятие функции и последовательности

Определение 1.1

Пусть Х и Y – некоторые множества действительных чисел. Если каждому числу x Є X по некоторому правилу f ставится в соответствие однозначно определенное число у Є У , то говорят, что задана функция y = f (x). Множество Х называют областью определения функции f(х), множество У - областью значений функции f(х).

Определение 1.2

Если для каждого числа y Є Y существует, причем однозначно определенное, число x Є X , для которого y = f (x) , то говорят, что функция f имеет обратную функцию: x = f ^-1 (y) .

Определение 1.3

Пусть, помимо функции y= f(x),где x Є X, определена еще одна функция g(y), определенная на множестве Y и принимающая значения из третьего множества Z. Тогда каждому числу xЄX можно поставить в соответствие однозначно определенное число z Є Z по следующему правилу: сначала числу x ставим в соответствие число y =f(x) , а затем по числу y определяем число z=g(y).Таким образом, получилась новая функция z = g (f(x)), называемая сложной функцией или суперпозицией функций f(x) и g(y).

Определение 1.4

Последовательностью называется функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Последовательность обозначают {а_n}, где а_n- общий член последовательности.

При вычислении пределов чаще всего речь идет об элементарных функциях.

Определение 1.5

Элементарной функцией называется функция, полученная при помощи четырех арифметических операций и операции суперпозиции, примененных конечное число раз к основным элементарным функциям и постоянным.

Основными элементарными функциями называются функции хⁿ, а^х(а>0,а≠1), log х (а>0,а≠1), sinх, cosх, tgх, ctgх, arcsinх, arccosх, arctgх, arcсtgх.

Вопросы для самоконтроля

1. Когда функция считается заданной? Дайте понятия области определения функции, области значений функции.

2. Какая функция имеет обратную?

3. Дайте определение сложной функции.

4. Какие функции называются элементарными функциями?

2. Определение предела последовательности

Определение 2.1

Число а называют пределом последовательности {а_n}, если для любого положительного сколь угодно малого числа ε существует такое натуральное число N , что все члены последовательности {а_n} с номерами n >N удовлетворяют неравенству:

(2.1)

Логически это определение можно записать так:

Неравенство (2.1) означает, что если расстояние между числами и a (как точками числовой прямой) меньше ε, то смысл определения предела последовательности в следующем: каким бы малым ни взять положительное число ε, расстояние от членов последовательности {а_n} до числа а, начиная с некоторого номера, будет меньше, чем ε.

Пример.

Доказать, исходя из определения предела, что последовательность имеет предел, равный

Решение:

Нам необходимо доказать, что , то есть для любого положительного числа ε >0 найдется такое натуральное число (номер) N( ), что для всех n>N будет выполняться неравенство: или , откуда .

Учитывая, что n - натуральное число, имеем или и .

Пусть =0,01 тогда (N=38)

Пусть =0,1 тогда (N=5)

То есть для любого положительного числа найдется такой номер N, зависящий от , начиная с которого будет выполняться неравенство а это и обозначает, что искомая последовательность имеет предел, равный .

Определение 2.2

Тот факт, что число а является пределом последовательности {a_n}, записывается так: a= или так a_n →a. Сама последовательность в этом случае называется сходящейся (к числу а). Последовательность, сходящаяся к 0, называется бесконечно малой.

Пример

Числовая последовательность при есть величина бесконечно малая, то есть

В качестве предела последовательности можно рассматривать не только числа.

Определение 2.3

Говорят, что последовательность {a_n} имеет пределом +∞ ( ) или, другими словами, последовательность {a_n} стремится к + ∞, если для любого положительного числа Е существует такое натуральное число N, что все члены последовательности {a_n} с номерами n >N удовлетворяют неравенству:

>Е (2.2)

Рассмотрим последовательность: {a_n}={n²-5n+2};

a₁=-2, a₂=-4, a₃=-4, а₄=-2, а₅=2, а₆=8 и т.д.

Члены последовательности неограниченно возрастают с ростом n и, начиная с n=5, все члены последовательности положительны. Поэтому .

Определение 2.4

Последовательность {a_n} имеет пределом - ∞ ( ) или, другими словами, последовательность {a_n} стремится к -∞, если для любого положительного числа Е существует такое натуральное число N, что все члены последовательности {a_n} с номерами n>N удовлетворяют неравенству

< -Е (2.3)

Пример

,поскольку - бесконечно малая последовательность.

Определение 2.5

Последовательность {а_n} имеет пределом ∞ ( )или, другими словами, последовательность {а_n} стремится к ∞ ( → ∞ ),если для любого положительного числа Е существует такое натуральное число N, что все члены последовательности {а_n} с номерами n>N удовлетворяют неравенству:

|а_n|>Е (2.4)

Или

Определение 2.6

Последовательность, имеющая пределом ∞, +∞ или -∞ называется бесконечно большой.