1.5.4. Монотонность и выпуклость функций

   Функция f, дифференцируема на (a, b), возрастает (убывает) на (a, b) тогда и только тогда, когда f '(x) ≥ 0 (f '(x) ≤ 0) для всех x ∈ (a, b). Если при этом не существует интервала (α, β) ⊂ (a, b) такого, что f '(x) = 0 для всех x ∈ (α, β), то f строго возрастает (убывает).

   Дифференцируемая на (a, b) функция f называется выпуклой вниз, соответственно строго выпуклой вниз, на (a, b), если для любых x₁, x₂ ∈ (a, b) таких, что x₁ ≠ x₂, f (x₂) ≥  f (x₁) + f ' (x₁)(x₂ – x₁), соответственно f (x₂) > f (x₁) + f ' (x₁)(x₂ – x₁).

   Дифференцируемая на (a, b) функция f называется выпуклой вверх (вогнутой), соответственно строго выпуклой вверх на (a, b), если для любых x₁, x₂ ∈ (a, b) таких, что x₁ ≠ x₂, f (x₂) ≤  f (x₁) + f '(x₁)( x₂ – x₁), соответственно f (x₂) < f (x₁) + f '(x₁)(x₂ – x₁).

   Геометрическая интерпретация выпуклости функции. Из неравенств, указанных в определении выпуклости, следует, что график функции f, выпуклой вниз, нигде не лежит под касательной к нему. Если f строго выпукла вниз, то график f, за исключением точки касания, всегда лежит над касательной к нему. Соответствующие утверждения имеют место и для случая выпуклости вверх. 

   Критерии выпуклости функции.

1. Дифференцируемая на (a, b) функция f, выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда f 'возрастает (убывает) на (a, b). Функция f строго выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда f 'строго возрастает (убывает) на (a, b).

2. Дважды дифференцируемая в (a, b) функция выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда для всех x ∈ (a, b) имеет место неравенство f '' (x) ≥ 0 (f '' (x) ≤ 0).

1.5.5. Экстремумы и точки перегиба

   Пусть функция f определена на (a, b) и пусть x₀ ∈ (a, b). Значение f (x_i) называется локальным минимумом (максимумом) функции f на (a,b), если существует окрестность U(x₀) ⊂ (a, b), и для всех x ∈ U(x₀)\{x₀} выполнено неравенство

              f (x) > f (x₀) (f (x) < f (x₀)).

   Максимум или минимум функции f называется (локальным) экстремумом функции f на (a, b).

   Экстремумы функции f на (a, b) являются наибольшими или наименьшими значениями функции относительно некоторой окрестности. Они отличаются от наименьшего m =   f (x) и наибольшего M =   f (x) значений функции на всей области определения. Однако, если f выпукла вниз (вверх) на (a, b) и имеет минимум (максимум) в (a, b), то он совпадает с m (M). Наибольшее (наименьшее) значение функции f, дифференцируемой на [a, b], достигается либо в одной из точек локального максимума (минимума), либо на одном из концов отрезка [a, b]. Таким образом, если известны все локальные максимумы (минимумы) функции f на [a, b] и значения функции на концах отрезка, то перебором легко можно определить

                f (x( )  f (x)).

   Необходимое условие существования экстремума. Если f (x₀) является экстремумом дифференцируемой функции f , то f '(x₀) = 0. Касательная к графику функции f, проходящая через точку (x₀, f (x₀)), параллельна оси x.

   Достаточное условие существования экстремума.

1. Если f дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ и f '(x₀) = 0, а f ''(x₀) > 0 (f ''(x₀) < 0), то функция f имеет в точке x₀ локальный минимум (максимум).

2. Пусть f k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Далее, пусть f ^(v) (x₀) = 0 при v = 1, …, k – 1 и f ^(k)( x₀) ≠ 0. Если k — четное, то f имеет в точке x₀ при f ^(k)(x₀) > 0 минимум и при f ^(k)(x₀) < 0 максимум.

   Предположения о дифференцируемости функции f в необходимых (соответственно достаточных) условиях экстремума могут не выполняться, но тем не менее функция f может иметь экстремумы. Например, функция f (x) = | x | не дифференцируема в точке x₀ = 0, однако в ней минимум. В подобных случаях нужно пытаться найти значения экстремумов непосредственно на основе определения. При этом важным вспомогательным средством являются соображения о монотонности вблизи исследуемых точек. Функция f (x) = | x |, является строго убывающей при x₀ > 0 и строго возрастающей при x₀ > 0. Следовательно f (0) = 0 является ее минимумом.

   Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Функция f имеет в точке x₀ точку перегиба тогда и только тогда, когда функция f ' имеет в точке x₀ локальный экстремум. 

   Геометрическая интерпретация. Если f имеет в точке x₀ точку перегиба, то график функции f в точке (x₀, f (x₀)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке, т. е. при x < x₀ касательная лежит под графиком f, а при x > x₀ — над графиком (или наоборот).

   Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, имеет в x₀ точку перегиба, то f ''(x₀) = 0.

   Достаточное условие существования точки перегиба. Если f в некоторой окрестности точки x₀ k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечетно, k  ≥ 3, и f ^(v)(x₀) = 0 при v = 2, 3, …, k  – 1 и f ^(k)(x₀) ≠ 0, то функция f имеет в x₀ точку перегиба.