1.5.4. Монотонность и выпуклость функций
Функция f, дифференцируема на (a, b), возрастает (убывает) на (a, b) тогда и только тогда, когда f '(x) ≥ 0 (f '(x) ≤ 0) для всех x ∈ (a, b). Если при этом не существует интервала (α, β) ⊂ (a, b) такого, что f '(x) = 0 для всех x ∈ (α, β), то f строго возрастает (убывает).
Дифференцируемая на (a, b) функция f называется выпуклой вниз, соответственно строго выпуклой вниз, на (a, b), если для любых x1, x2 ∈ (a, b) таких, что x1 ≠ x2, f (x2) ≥ f (x1) + f ' (x1)(x2 – x1), соответственно f (x2) > f (x1) + f ' (x1)(x2 – x1).
Дифференцируемая на (a, b) функция f называется выпуклой вверх (вогнутой), соответственно строго выпуклой вверх на (a, b), если для любых x1, x2 ∈ (a, b) таких, что x1 ≠ x2, f (x2) ≤ f (x1) + f '(x1)( x2 – x1), соответственно f (x2) < f (x1) + f '(x1)(x2 – x1).
Геометрическая интерпретация выпуклости функции. Из неравенств, указанных в определении выпуклости, следует, что график функции f, выпуклой вниз, нигде не лежит под касательной к нему. Если f строго выпукла вниз, то график f, за исключением точки касания, всегда лежит над касательной к нему. Соответствующие утверждения имеют место и для случая выпуклости вверх.
Критерии выпуклости функции.
Дифференцируемая на (a, b) функция f, выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда f 'возрастает (убывает) на (a, b). Функция f строго выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда f 'строго возрастает (убывает) на (a, b).
Дважды дифференцируемая в (a, b) функция выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда для всех x ∈ (a, b) имеет место неравенство f '' (x) ≥ 0 (f '' (x) ≤ 0).
1.5.5. Экстремумы и точки перегиба
Пусть функция f определена на (a, b) и пусть x0 ∈ (a, b). Значение f (xi) называется локальным минимумом (максимумом) функции f на (a,b), если существует окрестность U(x0) ⊂ (a, b), и для всех x ∈ U(x0)\{x0} выполнено неравенство
f (x) > f (x0) (f (x) < f (x0)).
Максимум или минимум функции f называется (локальным) экстремумом функции f на (a, b).
Экстремумы
функции f на
(a, b)
являются наибольшими или наименьшими
значениями функции относительно
некоторой окрестности. Они отличаются
от наименьшего m = 
f (x)
и наибольшего M = 
f (x)
значений функции на всей области
определения. Однако, если f выпукла
вниз (вверх) на (a, b)
и имеет минимум (максимум) в (a, b),
то он совпадает с m (M).
Наибольшее (наименьшее) значение
функции f,
дифференцируемой на [a, b],
достигается либо в одной из точек
локального максимума (минимума), либо
на одном из концов отрезка [a, b].
Таким образом, если известны все локальные
максимумы (минимумы) функции f на
[a, b]
и значения функции на концах отрезка,
то перебором легко можно определить
f (x( )
f (x)).
Необходимое условие существования экстремума. Если f (x0) является экстремумом дифференцируемой функции f , то f '(x0) = 0. Касательная к графику функции f, проходящая через точку (x0, f (x0)), параллельна оси x.
Достаточное условие существования экстремума.
Если f дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и f '(x0) = 0, а f ''(x0) > 0 (f ''(x0) < 0), то функция f имеет в точке x0 локальный минимум (максимум).
Пусть f k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Далее, пусть f (v) (x0) = 0 при v = 1, …, k – 1 и f (k)( x0) ≠ 0. Если k — четное, то f имеет в точке x0 при f (k)(x0) > 0 минимум и при f (k)(x0) < 0 максимум.
Предположения о дифференцируемости функции f в необходимых (соответственно достаточных) условиях экстремума могут не выполняться, но тем не менее функция f может иметь экстремумы. Например, функция f (x) = | x | не дифференцируема в точке x0 = 0, однако в ней минимум. В подобных случаях нужно пытаться найти значения экстремумов непосредственно на основе определения. При этом важным вспомогательным средством являются соображения о монотонности вблизи исследуемых точек. Функция f (x) = | x |, является строго убывающей при x0 > 0 и строго возрастающей при x0 > 0. Следовательно f (0) = 0 является ее минимумом.
Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Функция f имеет в точке x0 точку перегиба тогда и только тогда, когда функция f ' имеет в точке x0 локальный экстремум.
Геометрическая интерпретация. Если f имеет в точке x0 точку перегиба, то график функции f в точке (x0, f (x0)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке, т. е. при x < x0 касательная лежит под графиком f, а при x > x0 — над графиком (или наоборот).
Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то f ''(x0) = 0.
Достаточное условие существования точки перегиба. Если f в некоторой окрестности точки x0 k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечетно, k ≥ 3, и f (v)(x0) = 0 при v = 2, 3, …, k – 1 и f (k)(x0) ≠ 0, то функция f имеет в x0 точку перегиба.