1.5. Дифференцирование функций одного действительного переменного.

1.5.1. Определение и геометрическая интерпретация первой производной

   Если f – функция одного переменного и x₀ ∈ (a, b), то функция φ такая, что

               

называется разностным отношением функции f в точке x₀.

   Геометрическая интерпретация. Пусть на графике функции f в координатной системе x, y фиксированная точка P₀ (x₀, y₀) и подвижная точка P (x, y), и пусть секущая, проведенная через эти точки, образует угол β с положительным направлением оси x. Тогда

                .

   Разностное отношение функции f в точке x₀ равно, таким образом угловому коэффициенту секущей, проведенной через точки P и P₀.

   Функция f называется дифференцируемой в точке x₀ ∈ (a, b), если существует предел разностного отношения функции f в точке x₀:

               φ (x) =  .

   Этот предел называется производной функции f в точке x₀. Обозначение:

               .

   Геометрическая интерпретация: Если на графике функции подвижная точка P (x, y) стремится к точке P₀ (x₀, y₀), то изменяется также угловой коэффициент секущей. Если существует производная функции f в точке x₀, то прямую, проходящую через точку P₀ (x₀, y₀) и такую, что tg (α) = f '(x₀), где α — угол наклона этой прямой, называют касательной к графику функции f в точке P₀ (x₀, y₀). таким образом уравнение касательной есть y – f (x₀) = f '(x₀)(x – x₀).

   Функция f называется дифференцируемой справа (слева) в точке x₀, если существует предел справа (слева)  φ (x) ( φ (x)) разностного отношения в точке x₀. Этот предел называется производной справа (слева) функции f в точке x₀ и обозначается f '₊(x₀), f '(x₀ + 0) (f '_–(x₀), f '(x₀ – 0)).

   Если существует f '(x₀), то функция f дифференцируема справа и слева в точке x₀ и f '₊(x₀) = f '_–(x₀) = f '(x₀). Обратно, если существуют односторонние производные f '₊(x₀),  f '_–(x₀)  и  f '₊(x₀) = f '_–(x₀) то существует также f '(x₀) = f '₊(x₀) = f '_–(x₀).

   Функция f называется дифференцируемой на множестве E, если она дифференцируема во всех точках x₀ ∈ E. Функция f называетсядифференцируемой, если она дифференцируема на D ( f ). Если f дифференцируема, то функция f ', определенная соответствием x → f '(x), называется производной функции f. 

1.5.2. Производные высших порядков

   Пусть производная f ' функции f дифференцируема в точке x₀ ∈ D ( f '). Тогда ( f '(x))|_{x = x0} называется второй производной функции f в точке x₀. Обозначение:

              f ''(x₀) = f ⁽²⁾(x₀) =  f (x₀).

   Действуя подобным образом, определяют n-ю производную, или производную n-го порядка функции f в точке x₀:

               f ⁽ⁿ⁾(x₀) = ( f ^{(n – 1)}(x))|_{x = x0} =   f (x₀).

   Если существует f ⁽ⁿ⁾(x₀), то функция f называется n раз дифференцируемой в точке x₀. Имеет место следующее равенство:

               (f ⁽ⁿ⁾(x))^(m)|_{x = x0} = f ^{(n + m)}(x₀).

   Функция f называется n раз непрерывно дифференцируемой на множестве E, если она n раз дифференцируема в каждой точке x ∈ E и f⁽ⁿ⁾ непрерывна на E. 

1.5.3. Свойства дифференцируемых функций

1. Функция, дифференцируемая в точке x₀, непрерывна в этой точке.

2. Пусть функции f₁ и f₂ дифференцируемы в точке x₀. Тогда функция c₁ f₁ + c₂ f₂, где c₁, c₂ ∈ R, также дифференцируема в точке x₀ и

               (c₁ f₁ + c₂ f₂)'|_x0 = c₁ f '₁ (x₀) + c₁ f '₂ (x₀).

Произведение f₁ f₂ также дифференцируемо в точке x₀ и имеет место следующее правило дифференцирования произведения:

               (f₁ f₂)'|_x0 = f '₁ (x₀) f₂ (x₀) + f₁ (x₀) f '₂ (x₀).

Если f₂ (x₀) ≠ 0, частное f₁ / f₂ дифференцируемо в точке x₀ и имеет место следующее правило дифференцирования дроби:

               

3. Пусть функции f и φ дифференцируемы соответственно в x₀ и t₀ и x₀ = φ (t₀). Тогда сложная функция f (φ (t₀)) дифференцируема в точке t₀ и обладает производной

              ( f (φ))'|_{t = t0} = f ' [φ (t₀)] · φ' (t₀).

4. Пусть функция f дифференцируема и строго монотонна на (a, b). Пусть также в точке x₀ ∈ (a, b) производная f '(x₀) ≠ 0. Тогда обратная функция g (y) дифференцируема в точке y₀ = f (x₀) и ее производная есть

              (g (y))'|_{y = y0} = 

5. Если функции f₁ и f₂ n раз дифференцируемы в точке x₀, то функция f₁ f₂ также n раз дифференцируема в точке x₀ и имеет местоформула Лейбница:

              

если считать, что f_i ⁽⁰⁾ (x₀) = f_i (x₀) (i=1,2).

   Для функций, дифференцируемых в интервале, имеют место следующие теоремы.

   Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

   Геометрический смысл. Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

   Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция f непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то найдется по крайней мере одна точка x₀ ∈ (a, b), в которой

              f (x₀) = 

   Геометрический смысл. Если для функции f выполняются условия теоремы Лагранжа, то к графику функции f можно провести по меньшей мере одну касательную, параллельную секущей, проведенной через точки (a, f (a)), (b, f (b)).

   Теорема Коши. Пусть функции f и g непрерывны на [a, b], дифференцируемы в (a, b), и пусть g '(x) ≠ 0 для всех x ∈ (a, b), Тогда существует по крайней мере одна точка x₀ ∈ (a, b), в которой