Хід роботи

1. Задати четвірку матриць , які описують об’єкт.

2. Задати четвірку матриць , які описують виконавчий механізм.

3. Представити в просторі стану модель об’єкта та виконавчого механізму за допомогою оператора ss.

4. Зробити послідовне з’єднання об’єкта та виконавчого механізму за допомогою оператора series.

5. Виділити четвірку матриць отриманого сполучення за допомогою оператора ssdata.

6. Оскільки розмірність системи збільшилась на 1 параметр (параметр виконавчого механізму), тому необхідно розширити матрицю спостереження системи :

C2=[C; zeros(1,5) 1]; D2=zeros(6,1); sysser1=ss(A,B,C2,D2);

7. Побудувати оптимальний детермінований регулятор, використовуючи оператор lqr. Для цього необхідно задати діагональну матрицю вагових коефіцієнтів Q та R.

W=[0.01 1 3 1.5 1 0.5]; Q=diag(W); R=0.5;

[F,P,E]=lqr(A,B,Q,R)

8. Замикаємо об’єкт синтезованим регулятором за допомогою оператора feedback. На першому місці – система, на другому – регулятор.

9. Порахувати показник якості за допомогою оператора normh2.

10. Побудувати перехідну характеристику отриманої замкненої системи за допомогою оператора step.

Завдання

Необхідно аналітично побудувати оптимальний детермінований регулятор. Дано чотири матриці , які описують динаміку літака. І дано чотири матриці , які описують динаміку виконавчого механізму. Алгоритм синтезу викладений в описанні ходу роботи.

Варіант 1:

; ; .

Варіант 2:

Варіант 3:

Варіант 4:

Варіант 5:

Варіант 6:

Варіант 7:

Варіант 8:

Варіант 9:

Варіант 10:

Контрольні запитання

1. За допомогою якого оператора можна аналітично побудувати детермінований оптимальний регулятор?

2. За допомогою якого оператора можна порахувати показник якості системи?

3. За допомогою якого оператора можна побудувати перехідну характеристику системи?

4. Що таке перехідна характеристика системи?

5. Як задаються системи у просторі станів?

6. Яким умовам повинні задовольняти матриці A, B, C, D, щоб сформувати систему у просторі станів?

7. Яким чином відбувається з’єднання блоків, що задані моделлю у просторі станів?

8. Поясніть алгоритм синтезу детермінованого оптимального регулятора.

9. Які оператори використовувались в даній лабораторній роботі?

Лабораторна робота 15 Структурний синтез. Аналітичне конструювання оптимального детермінованого регулятора для дискретних систем

Мета роботи: навчитись в пакеті MATLAB створювати аналітичну модель оптимального регулятора для дискретних систем, навчитись визначати показник якості для цих систем.

Основні теоретичні відомості

Розглянемо питання покращення динамічних властивостей дискретної системи управління за допомогою зворотного зв’язку.

1^й етап. Розглянемо лінійну дискретну систему, яка описується диференційним рівнянням , де - вектор змінних стану системи, - вектор змінних управління, - матриця стану системи, розмірність якої n, - матриця управління системи. Керуюча змінна описується рівнянням , де - вектор вимірюваних змінних, - матриця спостереження, розмірність якої . Допустимо, що всі змінні вимірюються, тобто повний стан об’єкта управління може бути точно виміряний в любий момент часу та використаний для створення зворотного зв’язку. Таким чином, на першому етапі синтезу оптимального детермінованого дискретного регулятора необхідно задати четвірку матриць, які описують стан системи , причому, розмір матриці повинен співпадати з розміром матриці , тобто . Матриця D в більшості випадках є нульовою. Як і в неперервному випадку, регулятор необхідно синтезувати для послідовного з’єднання об’єкта та виконавчого механізму, так як динаміка руху літака та рульових органів описується окремими системами рівнянь.

2^й етап. Вирішимо задачу побудови детермінованого оптимального дискретного регулятора, який мінімізує критерій

J = Sum {x'Qx + u'Ru + 2*x'Nu} (15.1)

При цьому закон управління описується рівнянням

u[і] = -Кx[і] (15.2)

Для мінімізації критерію (14.2) необхідно рішити рівняння Рікатті для дискретного випадку. Рішення S для даного випадку постійне і є рішенням алгебраїчного рівняння Ріккаті

A'SA - S - (A'SB+N)(R+B'SB) (B'SA+N') + Q = 0,

E = EIG(A-B*K).

Таким чином, на другому етапі синтезу мінімізується показник якості (14.2). В результаті синтезу отримуємо регулятор у вигляді коефіцієнтів К, при яких показник якості (15.2) буде мати мінімальне значення. У пакеті програм MATLAB можна побудувати оптимальний детермінований регулятор, використовуючи оператор dlqr:

[K,S,E] = DLQR(A,B,Q,R)

Як легко побачити, для вирішення цієї задачі треба задати вагові матриці Q,R та матриці об’єкта управління (A,B). Після виконання цього оператора отримуємо:

• матрицю K оптимальних коефіцієнтів підсилення дискретного регулятора

• матрицю S, що є рішенням дискретного рівняння Ріккаті.

• вектор Е, що містить власні числа матриці станів замкненої системи A-BК.

Цим оператором можна користуватись в тому випадку, коли задано дискретний об'єкт та необхідно отримати дискретний регулятор. Оператором lqrd необхідно користуватися тому випадку, коли необхідно отримати дискретний оптимальний регулятор, який мінімізує неперервну функцію. В цьому задано неперервний об'єкт та необхідно отримати дискретний регулятор, який при дискретному законі управління (15.2) мінімізує дискретний критерій якості, що є еквівалентний неперервному (15.2). У пакеті програм MATLAB можна побудувати оптимальний детермінований регулятор, використовуючи оператор lqrd: [K,S,E] = LQRD(A,B,Q,R,Ts)

Цю задачу можна описати алгоритмом:

1.Неперервний об’єкт (A,B,C,D) та неперервні вагові матриці

(Q,R)дискретизуються за допомогою фіксатора нульового порядку з часом дискретності Ts.

2. Розраховується матриця K оптимальних коефіцієнтів підсилення дискретного регулятора.

Оскільки при розрахунку Н₂-норми детермінованої системи в дискретному випадку використовують граміани керованості замкнутої системи для детермінованого G_d , які можуть бути знайдені можуть бути знайдені з рішення дискретних рівнянь Ляпунова:

(15.3)

Квадрат H₂-норми для детермінованого випадку можна одержати в такий спосіб:

(15.4)

де - вагова матриця спостереження:

(15.5)

q₁,_…,q_n–вагові коефіцієнти змінних простору станів.

У пакеті програм MATLAB можна порахувати показник якості для дискретних систем, виконавши такий алгоритм:

BB=Bз*Bз'; G=dlyap(Aз,BB); H22=trace(Cз*G*Cз')

За допомогою оператора dlyap отримаємо рішення дискретного рівняння Ляпунова, оператор trace рахує слід матриці.