Лабораторна робота 8 Визначення границi стiйкостi для дискретних систем управлiння

Мета роботи: навчитись визначати границi стiйкостi для дискретних систем управлiння, проводити дослiдження на стiйкiсть дискретноi системи за допомогою критерiя Джурi.

Основнi теоретичнi відомості

Дискретна система буде стійкою, якщо всi корнi характеристичного рiвняння знаходяться в колi одиничного радiуса на z- площинi.

Критерій Гурвіца для неперервних систем вiдносно невисокого порядку є простим і зручним способом визначення їх стійкості.

Для дискретних систем його використовувати не можна, оскільки границя стійкості на z- площині для дискретних систем відрізняється від відповідної границі на s- площині для неперервних систем.

Аналогом критерія Гурвіца для дискретних систем є критерій Джурі.

Нехай характеристичне рівняння дискретної системи має вигляд:

(8.1)

Щоб користуватися критерієм Джурі, обрахуємо коефіцієнти, представлені в таблиці 8.1. елементи перших двох рядочків отримаємо із коефіцієнтів характеристичного рівняння (8.1), а елементи наступних рядочків обраховуємо як визначники

Необхідні і достатні умови для того, що Q(z) немає коренів за межами кола з одиничним радіусом:

Масив коефіцієнтів для критерія Джурі.

Таблиця 8.1

Для системи другого порядку масив буде складатись лише з одного рядка, тому не потрібно робити ніяких додаткових розрахунків. При збільшенні порядка системи на один, масив збільшується на два рядка. Для системи першого порядку єдиний корінь характеристичного рівняння дорівнює , і стійкість системи очевидна. Необхідно звернути увагу на те, що для системи n-порядку існує n+1 обмеження.

Приклад 8.1. Необхідно визначити значення К, при якому система буде стійкою. Передавальна функція системи:

.

Характеристичне рівняння системи

Розв’язання. Запишемо характеристичне рівняння системи

Створимо масив Джурі:

Із умови отримаємо

Із умови отримаємо

Звідси отримуємо

Із умови маємо , звідси

Таким чином, система стійка при .

Результата можна перевірити за допомогою наступної програми в пакеті MATLAB:

K=[1 2.39 3]; for k=1:3

q=[1 (0.368*K(k)-1.368) (0.264*K(k)+0.368)]; r=roots(q)

rootmag=sqrt((real(r(1)))^2+(imag(r(1)))^2); end

В результаті отримаємо

rootmag=0,795 0,9995 1,077

Тобто при К=1 система стійка, при К=2,39 вона знаходиться на грані стійкості, а при К=3 є нестійкою.

Лабораторна робота 9 Корекція шляхом зміни коефіцієнта підсилення

Мета роботи: навчитись виконувати процедуру корекції шляхом зміни коефіцієнта підсилення, визначати запаси стійкості системи, будувати її частотні характеристики.

Основнi теоретичнi відомості

Коректуючий пристрій – це елемент або схема, який вводиться додатково в систему управління з метою виправлення її динамічних характеристик. В сучасній теорії управління його називають регулятором. Існують різні типи корекції в залежності від розміщення регулятора в схемі системи управління. Спочатку розглянемо спосіб корекції шляхом зміни коефіцієнта підсилення К. На рис.9.1. зображено замкнену систему, в якій регулятор просто виражений коефіцієнтом К. Це відповідає пропорційному регулятору. На рис.9.1. зображено послідовну корекцію, оскільки регулятор знаходиться в прямому ланцюзі передачі сигналу.

Рис. 9.1. Структурна схема послідовної корекції

За допомогою такого типу корекції можна задовольнити досить мало вимог до системи управління. Припустимо, наприклад, що діаграма Найквіста некоректованої системи зображена на рис.9.2. Зміна коефіцієнта К може лише пропорційно розширити або зжати діаграму, проте ніяк не вплине на її форму.

Рис. 9.2. Діаграма Найквіста некоректованої системи

Відповідно до цього, ми можемо за допомогою такого типу корекції забезпечити необхідний запас стійкості по фазі, проте будемо примушені погодитись і з частотою, на якій буде існувати цей запас, і з результуючим запасом по амплітуді. Якщо в систему ввести регулятор з коефіцієнтом підсилення меншим одиниці, то її амплітудна характеристика зміститься вниз , не змінивши при цьому своєї форми, а фазова характеристика лишиться незмінною. Таким чином, запас по фазі збільшиться. Але, оскільки частота, на якій буде існувати новий запас по фазі, стане меншою, то відповідно і зменшиться полоса пропускання системи.

Це приведе до збільшення часу наростання перехідної функції, але оскільки запас по фазі збільшиться, то перерегулювання у перехідній функції повинно зменшитись. Нагадаємо, перерегулювання – це процентне перевищення значення, що встановилось.

Приклад 9.1. Необхідно синтезувати пропорційний регулятор для системи, яка зображена на рис.9.1. Передавальна функція некоректованої системи має вигляд:

, причому

Для некоректованої системи запас по фазі дорівнює 12, а запас по модулю – 3,5 дБ. В пакеті MATLAB ці значення можна отримати за допомогою оператора margin. Ці значення є досить малими для системи. Припустимо, що запас по фазі повинен бути 50. Це означає, що при деякій частоті , на якій , повинна виконуватись умова . Побудувавши діаграму Боде (див. рис.9.3), можна визначити що дана умова буде виконуватись на частоті . Так як модуль частотної функції розімкненої системи на цій частоті приблизно дорівнює 3,5, то К потрібно вибрати 1/3,5=0,286.

Модуль частотної функції розімкненої системи на заданій частоті можна у пакеті MATLAB можна визначити за допомогою оператора bode, задавши його таким чином: [m, p]=bode (w, 0.5), grid, де m-видається значення амплітуди, p- значення фази при частоті . Щоб детальніше дослідити вплив зміни коефіцієнта підсилення на характеристики системи, задамо для заданого прикладу запаси стійкості 35 і 65. Цим значенням відповідає значення К 0,455 та 0,158 відповідно.

Варіант 9: ;Варіант 10: