2. Умова паралельності двох прямих.

Нехай на площині задані дві прямі:

A₁x + B₁y + C = 0 (L₁) i A₂x + B₂y + C₂ =0 (L₂)

Нехай L₁║L₂ , тоді їх нормальні вектори i колінеарні, тому їх відповідні координати пропорціональні, тобто .

Умови паралельності двох прямих:

або або .

Умова, коли прямі співпадають:

.

3. Кут між двома прямими.

Якщо прямі задані загальними рівняннями А₁х + В₁у + С₁=0, А₂х + В₂х + С₂=0 , тоді

соsθ = ;

якщо прямі задані канонічними рівняннями, тоді ;

якщо прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами, тоді .

4. Відстань від точки до прямої.

Нехай xcosα + ysinα – p = 0 – нормальне рівняння прямої, М₀(х₀,у₀) - задана точка, d – шукана відстань від точки до прямої. Тоді . Якщо пряма задана загальним рівнянням, то .

Тема 4.4 Рівняння площини. Взаємне розміщення площин

Загальне рівняння площини має вигляд:

Ax + By + Cz + D=0.

1 Рівняння площини, яка проходить через три точки

Нехай площина задана трьома своїми точками , які не лежать на одній прямій. Якщо М(x,y,z) - довільна точка площини, то вектори , , - компланарні і тому їх мішаний добуток дорівнює нулю: ( , , )=0, або в координатній формі

.

2 Відстань від точки до площини

Нехай Ax + By + Cz + D=0 – рівняння площини, - задана точка, d – відстань точки М₀ від площини. Тоді .

3 Кут між двома площинами

Нехай дві площини задано загальними рівняннями і . Двогранний кут θ між двома площинами вимірюється лінійним кутом, який дорівнює кутові між нормальними векторами і цих площин. Тому .

4 Умова паралельності двох площин

Якщо площини паралельні, то вектори і - колінеарні, тоді .

5 Умова перпендикулярності двох площин

.

Тема 4.5 Лінії другого порядку

1. Еліпс. Визначення. Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней від двох фіксованих точок (фокусів), є сталою.

Маємо а²-с²=b², (а>с).

Канонічне рівняння еліпса має вигляд: ,

де величини 2а і 2в називають довжинами осей еліпса;

а – великою піввіссю, в – малою піввіссю; а>в, якщо фокуси еліпса розміщені на осі Ох ; а<в, якщо фокуси розміщені на осі Оу; відстань між фокусами еліпса позначимо через 2с.

Якщо а=в, то рівняння набирає вигляд х² + у² = а², тобто є рівнянням кола.

Рівняння зміщеного еліпса: .

Рівняння кола має вигляд: (х -а)² + (у-в)²=r²,де (а;в) – координати центра кола, а r – радіус кола.

2. Гіпербола. Визначення. Гіперболою називається множина точок площини, для яких абсолютне значення різниці відстаней від двох фіксованих точок (фокусів), є сталою. c²-a²=b² (c>a).

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд: .

Рівняння зміщеної гіперболи має вигляд:

.

Спряжена гіпербола:

, або .

Дослідження форми гіперболи.

Симетрія. Координатні осі є осями симетрії, а початок координат – центром симетрії.

Асимптоти гіперболи. Якщо при необмеженому віддаленні точки по кривій від початку координат її відстань від деякої прямої прямує до нуля, то така пряма називається асимптотою даної кривої.

Прямі є асимптотами гіперболи, які є діагоналями прямокутника зі сторонами 2a і 2b.

3. Парабола. Визначення. Параболою називається множина точок, кожна з яких однаково віддалена від даної точки (фокуса) і від даної прямої (директриси).

Відстань від фокуса F до директриси позначимо через p. Нехай М – довільна точка параболи. Тоді буде фокальним радіусом точки М.

Відстань від точки М до директриси позначимо через d.

Згідно з означенням r = d.

Канонічне рівняння параболи має вигляд: або .

Рівняння зміщеної параболи: .