Тема 3.2 Елементи векторної алгебри

Векторною величиною називається величина, яка характеризується, крім числа, ще й напрямом у просторі.

Вектори. Види векторів. Вектором називається напрямлений відрізок. Для позначення векторів використовуються або малі букви зі стрілкою , або великі. Наприклад. Вектор або .

Напрямком вектора називається напрямок, який задає промінь АВ.

Вектор називається нульовим, якщо його початок і кінець співпадають: - нульовий вектор = 0, тобто нульовий вектор не має визначеного напрямку.

Нехай вектор має початком точку А₁(х₁;у₁;z₁), а кінцем – точку А₂(х₂;y₂;z₂).

Координатами вектора називаються числа

а₁= х₂-х₁, а₂=у₂-у₁, а₃=z₂-z₁.

Координати вектора – це проекції цього вектора на координатні осі. Ці ж числа визначають положення т. М в системі координат і називаються координатами точки М і позначаються M ( x,y ).

Отже, координати точки – це відстані даної точки від координатних осей. За координатами вектора легко знайти його довжину: =

Якщо вектор задано двома точками A (x ,y ) i B(x ,y ), то вектор має координати і довжину відповідно: =(x - x , y - y ).

Абсолютною величиною (модулем) вектора називається довжина відрізка, який зображає вектор. Позначення . = . Абсолютна величина вектора з координатами а₁,а₂,а₃ дорівнює арифметичному квадратному кореню із суми квадратів його координат: , або .

Одиничним вектором ( або ортом) називається вектор одиничної довжини.

Позначення - одиничний вектор і =1 –довжина одиничного вектора.

Координати орта:

Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним переносом.

Два або більше ненульових вектора називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. ║ ║

Нехай дані вектори і .

Вектори колінеарні, якщо .

Вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині (або лежать в одній площині).

Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Тема 3.3 Лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами

Вектори рівні, якщо рівні їх відповідні координати:

= ; Û .

Якщо вектор множиться на число, тоді його координати множаться на це число:

, .

Якщо вектори додаються (віднімаються), додаються (віднімаються) їх відповідні координати.

; .

Тема 3.4 Лінійна залежність векторів. Розклад вектора за базисом

Визначення. Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність .

Визначення. Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність виконується тільки тоді, коли усі . В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів із простору Е_m розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів . Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори із простору Е_n (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді , тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів , не дорівнює нулю.

Визначення. Базисом n вимірного простору Е_n називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.

Довільний вектор n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса так: .

Числа називають координатами вектора у базисі векторів .

Зауваження. Два лінійно залежних вектори задовольняють рівність , тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто

.