Тема 2.2 Правило Крамера

Якщо визначник основної матриці системи відмінний від нуля, то система сумісна і має єдиний розв`язок, який знаходять за формулами: .

Формули Крамера для системи лінійних рівнянь з трьома невідомими: .

; ;

; .

Якщо ∆ 0, тоді система має єдиний розв`язок

.

Якщо або або , тоді система розв`язків немає.

Якщо , тоді система має безліч розв`язків: R; .

Тема 2.3 Елементарні перетворення матриці. Канонічна матриця. Ранг матриці.

Елементарними називаються такі перетворення матриць:

1. перестановка двох довільних рядків (стовпців);

2. множення рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;

3. додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне і те ж число.

Канонічною матрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять підряд декілька одиниць(кількість яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю.

За допомогою елементарних перетворень кожну матрицю можна звести до канонічної.

Мінором k-го порядку матриці А називається визначник квадратної матриці, елементи якої знаходяться на перетині вибраних довільних k рядків і k стовпців.

Рангом матриці називається найбільший їз порядків ії мінорів, відмінних від нуля.

Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що матриця А має хоча б один відмінний від нуля мінор порядку r, але будь- який мінор порядку, більшого, ніж r, дорівнює нулеві. Ранг матриці А позначається символом: RgA, дє .

Ранг канонічної матриці дорівнює кількості одиниць на її головній діагоналі. Тому щоб знайти ранг матриці А, потрібно звести її до канонічного вигляду.

Зведення матриці до трикутного вигляду з одиницями по головній діагоналі еквівалентне «прямому ходу» методу Гауса.

Тема 2.4 Теорема Кронекера- Капеллі

Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу ії розширеної матриці.

Якщо ранг сумісної системи дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв`язок.

Якщо ранг системи менший від кількості невідомих, то система має безліч розв`язків.

Тема 2.5 Системи лінійних однорідних рівнянь

Лінійна система А∙Х=В називається однорідною, якщо В=0, тобто А∙Х=0, де ,

Х – вектор-сповпець з невідомих х₁,х₂,…,х_n.

Ця система сумісна, бо ранг матриці системи дорівнює рангові розширеної матриці. Система завжди має нульовий розв`язок х₁=х₂=…=х_n=0, який називається тривіальним.

Для того, щоб система мала нетривіальний розв`язок,

Необхідно і достатньо, щоб ранг цієї системи був менший за кількість невідомих.

Довільна система лінійних однорідних рівнянь, в якій кількість рівнянь менша від кількості невідомих, має нетривіальний розв`язок.

Теорема. Для того, щоб система однорідних лінійних рівнянь, в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, мала нетривіальний розв`язок, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю.