2. Канонічне і параметричне рівняння прямої

Положення прямої на площині відносно системи координат можна задати будь-якою точкою М(х₀,у₀), що належить цій прямій, і напрямком прямої, тобто вектором , колінеарним цій прямій.

Ненульовий вектор , який паралельний прямій, називається напрямним вектором прямої.

Через точку М₀(x_0,y₀) можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну вектору .

Пряма, що проходить через дану точку М(х₀,у₀) з даним напрямленим (паралельним) вектором називається канонічним рівнянням прямої.

Таке рівняння має вид: .

3. Параметричне рівняння прямої:

4. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай М₁(x₁;y₁) та М₂(x₂;y₂) – дві точки прямої, тоді рівняння прямої, яка проходить через ці точки має вигляд:

5. Рівняння прямої «у відрізках»

Розглянемо довільне рівняння першого степеня

Ах + Ву + С = 0, А² + В² > 0. Нехай всі коефіцієнти А, В і С відмінні від нуля. Тоді рівняння можна записати у вигляді . Прийнявши , отримаємо рівняння:

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай пряма задана точкою М_о(х_о;у_о) і кутом φ, який вона утворює з додатним напрямком осі Ох.

Її канонічне рівняння , якщо , можна записати у вигляді .

Тангенс кута φ нахилу прямої до осі Ох називається кутовим коефіцієнтом прямої. Позначимо і рівняння набуває вигляду y=k(x - x_o) + y_o , якщо прийняти y_o- kx_o=b, тоді рівняння має вигляд: y = kx + b.

Параметр b є ординатою точки перетину прямої з віссю Оу. Якщо пряма паралельна вісі Оу, то і кутовий коефіцієнт k в цьому випадку не визначений.

Отже, рівняння прямої, паралельної осі Оу, не може бути записане у даному вигляді.

7. Рівняння прямої, яка проходить через дану точку і має даний кутовий коефіцієнт: у-у_о= k(х-х_о) .

8. Нормальне рівняння прямої.

Рівняння xcosα + ysinα – p = 0 називається нормальним рівнянням прямої. У цього рівняння - одиничний вектор нормального вектора прямої, р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму.

Якщо пряма задана загальним рівнянням Ах+Ву+С = 0, то її нормальне рівняння має вигляд .

Знак перед коренем вибирається протилежним до знаку вільного члена.

9. Рівняння пучка прямих.

Пучком прямих на площині з центром у даній точці називається сукупність прямих, що проходять через цю точку. Пучок прямих можна задати будь-якими двома прямими А₁х + В₁у + С₁ = 0, А₂х + В₂у + С₂=0, які перетинаються. Точка їх перетину є центром пучка. Рівняння шуканого пучка має вигляд: А₁х + В₁у + С₁ + m(А₂х + В₂у + С₂) = 0.

Якщо m=0, отримуємо першу пряму, якщо m=∞,- другу пряму. Щоб із пучка виділити певну пряму, треба задати додаткову умову для встановлення значення параметра m, що відповідає даній прямій.

Тема 4.3 Взаємне розміщення двох прямих

1. Умова перпендикулярності прямих

Якщо прямі A₁x +B₁y +C=0 (L₁) i A₂x + B₂y + C=0 (L₂) перпендикулярні (L₁ L₂), то їх нормальні вектори і також перпендикулярні, а це значить, що скалярний добуток їх дорівнює 0:

або А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Дві прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при змінних зв’язані рівністю

A₁A₂ + B₁B₂=0, або коли кутові коефіцієнти цих прямих обернені за модулем і протилежні за знаком . А₁А₂+В₁В₂=0 або m₁m₂+n₁n₂=0 або 1+k₁k₂=0.