Тема 2.6 Метод Гауса розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Зведення матриці до трикутного вигляду з одиницями по головній діагоналі еквівалентне „прямому ходу” методу Гаусса.

Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь:

.

Прямий хід: шляхом елементарних перетворень рядків (додавань до рядка іншого рядка, помноженого на число, і перестановок рядків) матриця приводиться до верхньотрикутного вигляду.

З цього моменту починається зворотний хід.

З останнього ненульового рівняння виражаємо кожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базисних змінних, отримуємо фундаментальний розв'язок.

Розділ 3 Векторна алгебра

3.1 Прямокутна декартова система координат

Зафіксуємо на площині точку О та виберемо базис . Сукупність точки О і базису називається системою координат на площині. Сукупність точки о і базису називається системою координат у просторі.

Якщо базисні вектори взаємно перпендикулярні і , то такий базис називають прямокутним декартовим. У цьому випадку базисні вектори позначаються відповідно .

Сукупність точки О і базису називається декартовою прямокутною системою координат.

Вісі координат: вісь Ох - вісь абсцис, вісь Оу – вісь ординат, вісь Оz – вісь аплікат. Вісі взаємно перпендикулярні. Площини, що проходять через початок координат та осі координат, називаються координатними площинами.

Координати точки в системі координат. Нехай М – довільна точка простору. Вектор називається радіусом-вектором точки М.

Розрізняють ліву і праву системи координат. Розглянемо впорядковану трійку не компланарних векторів. Ця трійка називається правою (лівою), коли поворот від першого до другого і від другого до третього здійснюється проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою). Система координат називається правою (лівою), якщо базисні вектори утворюють праву (ліву) базисну трійку.

Довільній точці простору в декартовій системі координат ставлять у відповідальність три числа: абсцису - х_о, ординату - у_о і аплікату - z_o. Ці числа називаються декартовими координатами заданої точки і позначається так: М(х;у;z).

Відстань між двома точками на площині. В прямокутній системі координат на площині відстань між двома точками (х , у ) і В(х ,у ) обчислюється за формулою: = .

Відстань між двома точками в просторі.

АВ= .

Ділення відрізка в даному відношенні і навпіл

Нехай в системі координат 0xy дано відрізок AB: A(x ,y ) і B(x ,y ). Знайти точку C(x,y) , яка ділить відрізок АВ в відношенні АС:СВ = .

Тоді координати точки С знаходимо за формулами:

Якщо С –середина відрізка, то і координати середини відрізка такі: .

Координати центру ваги трикутника. Нехай в системі координат 0xy дано трикутник АВС: A(x ,y₁), B(x₂,y₂) i C(x₃,y₃) тоді т. М – центр ваги

Координати центру ваги цього трикутника обчислюються за формулами .