МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ

КОМП’ЮТЕРНО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ КОЛЕДЖ

НТУ «ХПІ»

СТИСЛИЙ ДОВІДНИК

з дисципліни

„ Лінійна алгебра та аналітична геометрія”

для студентів спеціальності

«Розробка програмного забезпечення»

другий курс навчання

2011-2012

Стислий довідник з дисципліни „Лінійна алгебра та аналітична геометрія ” для спеціальності «Розробка програмного забезпечення» призначений для підготовки до тематичного оцінювання, підготовки до іспиту та самоопрацювання.

Розроблений викладачем вищої категорії, методистом Владимировою О.В.

Затверджений на засіданні циклової комісії комп’ютерних та інформаційних дисциплін

Протокол №____від______________2011р.

Голова комісії___________________О.В.Владимирова

Заступник директора

з навчальної роботи______________І.І.Дідух

ЗМІСТ

Вступ……………………………………………………..5

Розділ 1 Матриці та їх види………………………..…5

Тема 1.1 Види матриць………………………………….5

Тема 1.2 Лінійні операції над матрицями………………7

Тема 1.3 Метод оберненої матриці…………………......9

Тема 1.4 Транспонована матриця……………………...10

Розділ 2 Системи лінійних алгебраїчних

рівнянь та методи їх розв`язування……………..11

Тема 2.1 Матричний метод……………………….........11

Тема 2.2 Правило Крамера……………………………..13

Тема 2.3 Елементарні перетворення матриці.

Канонічна матриця. Ранг матриці..................14

Тема 2.4 Теорема Кронекера- Капеллі………………..15 Тема 2.5 Системи лінійних однорідних рівнянь..........16

Тема 2.6 Метод Гауса розв`язування систем лінійних

алгебраічних рівнянь......................................17

Розділ 3 Векторна алгебра……………………………18

Тема 3.1 Прямокутна декартова система координат…18

Тема 3.2 Елементи векторної алгебри………………...23

Тема 3.3 Лінійні операції над векторами,

що задані своїми координатами……………24

Тема 3.4 Лінійна залежність векторів.

Розклад вектора за базисом…………………27

Тема 3.5 Проекція вектора на вісь…………………….29

Тема 3.6 Скалярний добуток двох векторів…………..31

Тема 3.7 Кут між двома векторами……………..…….32

Тема 3.8 Векторний добуток векторів………………..33

Тема 3.9 Мішаний добуток векторів…………….........35

Розділ 4 Аналітична геометрія на площині……….37

Тема 4.1 Лінії на площині та їх рівняння……………..37

Тема 4.2 Рівняння прямої на площині..........................39

Тема 4.3 Взаємне розміщення двох прямих………….44

Тема 4.4 Рівняння площини. Взаємне розміщення площин..............................................................

Тема 4.5 Лінії другого порядку………………………..47

Тема 4.6 Полярна система координат…………………51

Список джерел інформації…………………………….53

ВСТУП

Основна задача довідника з дисципліни «Лінійна алгебра та аналітична геометрія» для середніх спеціальних закладів полягає в тому, щоб озброїти студентів основами математичних знань з матриць, визначників, систем лінійних рівнянь, елементів теорії лінійних просторів – лінійний та евклідовий простори, елементами аналітичної геометрії на площині та в просторі для повсякденної практичної діяльності, для освоєння загально-технічних і спеціальних дисциплін, а також для подальшого підвищення знань з дисципліни шляхом самоосвіти.

«Геометрію можна вважати практичною логікою, оскільки істини, які в ній розглядаються, є найпростішими і найочевиднішими. Тому-то вони найкраще підходять для використання при виробленні правил» Жан Лерон Д`Аламбер

Розділ 1 Матриці та їх види

Матрицею розмірів m на n називається сукупність m x n чисел, які розміщені у вигляді прямокутної таблиці, що містить m рядків і n стовпців

, або скорочено

, (i=1,…m; j=1,…n).

Тема 1.1 Види матриць

- вектор-строка;

- вектор-столбець;

- квадратна матриця;

-одинична; - диагональна;

Тема 1.2 Лінійні операції над матрицями

Нехай матриці А і В – однакового розміру, тобто мають однакову кількість рядків і столбців.

Рівність матриц: якщо А= В= , то А=В означає, що a_ij=b_ij для всіх i,j.

Сума матриць. Сумою А В двох матриць А= В= називається матриця C=(c_ij), елементи якої c_ij=a_ij+b_ij.

Добуток матриці та числа. Добутком λА матриці А= на число λ називається матриця, елементи якої отримуються з відповідних елементів матриці А множенням на λ: λА=( λa_ij).

Добуток матриць. Добутком АВ матриць А= В= називається матриця C=(c_ij), дє c_ik=a_i1b_1k+a_i2b_2k=…=a_inb_nk.

Визначник матриці та способи обчислення визначників. Визначник, або детермінант числової квадратної матриці – це число, яке ставиться у відповідність матриці і може бути виражене через її елементи. Визначник матриці А позначається так:

Число М_1k називається мінором елемента а_1к матриці А.

Мінор елемента визначника

Алгебраїчне доповнення елементу a_ij:

Правило обчислення визначника 2-го порядку:

.

Правило обчислення визначника 3-го порядку:

.

Тема 1.3 Метод оберненої матриці Матриця називається оберненою по відношенню до квадратної матриці a,

якщо А∙А^-1=А^-1∙А=Е, дє E – одинична матриця.

де:

- визначник матриці А,

— алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці A.

Для того, щоб для матриці А існувала обернена матриця А^-1, необхідно і достатньо, щоб det A .

; ; ,

Тема 1.4 Транспонована матриця

Матриця називається транспонованою щодо матриці , якщо її , тобто рядок стає стовпцем. Якщо А=А^Т , то матриця А називається симетричною.

Наприклад:

= та =

Транспонована матриця використовується для розв’язання матричних рівнянь, для розв’язання систем лінійних рівнянь матричним способом.

Розділ 2 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та методи їх розв`язування

Тема 2.1 Матричний метод

Матричний метод рішення (метод рішення через обернену матрицю) систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником полягає в наступному.

Нехай дана система лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем):

Тоді її можна переписати в матричній формі:

AX = B, де A - основна матриця системи, B і X - стовпці вільних членів і рішень системи відповідно:

, Помножимо це матричне рівняння зліва на - матрицю, зворотну до матриці A. Якщо detA≠0, тоді

. Так як отримуємo Х=А^-1В.

Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосування цього методу (як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь з числом рівнянь, що дорівнює кількості невідомих) є невиродженого матриці A. Необхідною і достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A: detA≠0.

Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0, дійсно зворотне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто ненульове) рішення тільки якщо detA= 0. Такий зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь називається альтернативою Фредгольма.