1. Непрерывно действующие распределенные источники при граничных условиях второго рода

Во многих электротехнологических установках нагрев тела происходит за счет внутренних источников тепла, которое может выделяться в нагреваемом теле при протекании вихревых токов, наведенных переменным электромагнитным полем (индукционный нагрев), токов от внешних источников (резистивный нагрев), а также за счет диэлектрических потерь (диэлектрический нагрев). В этих случаях должна решиться задача расчета нестационарного температурного поля при наличии в нагреваемом теле внутренних источников тепла, распределенных по определенному закону. Выделение тепла начинается в начальный момент нагрева и продолжается до окончания нагрева. При распределении внутренних источников тепла в тонком слое вблизи поверхности тела в предельном случае при стремлении толщины слоя к нулю, задача сводится к расчету нестационарного температурного поля при задании на поверхности тела плотности теплового потока, что характерно для поверхностного нагрева в печах и соляных ваннах, а также в установках дугового, плазменно-дугового и электронно-лучевого нагрева.

Нестационарное температурное поле в теле с внутренними источниками тепла при постоянных теплофизических параметрах описывается уравнением

(1)

где a, λ – коэффициенты температуропроводности и теплопроводности нагреваемого тела; р_v – плотность внутренних источников тепла (удельная объемная мощность).

Плотность внутренних источников тепла в общем случае зависит от координат и времени. При электрическом нагреве плотность внутренних источников тепла обычно представляется в виде

где w(x,y,z) – безразмерная функция, зависящая только от координат; R – характерный размер тела; p₀(t) – функция, соответствующая удельной поверхностной мощности.

Для получения обобщенных зависимостей широко используются безразмерные (критериальные) величины.

Уравнение (1) при применении этих величин принимает вид:

где - число Фурье; - число Кирпичева; - относительная температура; Т_нач – начальная температура; Т₀ – базовая температура;

-относительные координаты.

Если температура плоской плиты меняется в основном по толщине плиты (по координате х) уравнение (1) принимает вид:

(2)

где - относительная координата; d – толщина плиты; D-полутолщина плиты (d=2D)

Тепло в объеме плиты выделяется при протекании по ней электрического тока при прямом нагреве или за счет вихревых токов при индукционном нагреве. Распределение плотности тока и соответственно удельной объемной мощности по сечению плиты является в общем случае неравномерным. При индукционном нагреве и прямом нагреве переменным током вследствие поверхностного эффекта значения удельной объемной мощности уменьшаются по мере удаления от поверхности по определенному закону.

В холодном режиме индукционного нагрева, когда материал плиты обладает магнитными свойствами, функция w распределения, внутренних источников тепла может быть представлена в виде

, (3)

где - параметр, характеризующий поверхностный эффект.

При этом х₁ = 1,46 е, где - глубина проникновения электромагнитной волны.

Параметр  может изменяться от 0 до 1. При других режимах индукционного нагрева кривая распределения внутренних источников тепла приближается к ступенчатой.

Для упрощения расчетов принимается допущение, что удельная объемная мощность постоянна в пределах активного слоя толщиной х₁ и равна нулю вне активного слоя

,

При этом удельная объемная мощность p_v связана с поверхностной удельной мощностью р₀ соотношением .

В процессе нагрева поверхностная удельная мощность р₀, параметр  и глубина активного слоя в общем случае зависят от времени вследствие зависимости от температуры параметров нагреваемого тела. Во многих случаях с достаточной для инженерных расчетов точностью можно вести расчет при постоянной во времени удельной поверхностной мощности. Принимается также допущение, что толщина активного слоя неизменна во времени и равна своему значению в конце нагрева. При этом удельная объемная мощность p_v также постоянна. При прямом нагреве постоянным током

При решении уравнения (2) предполагается, что потери тепла во внешнее пространство отсутствуют, то есть на поверхности плиты задается граничное условие второго рода

Температурное поле в пластине при любом распределении внутренних источников тепла и нулевом начальном условии описывается выражением

, (5)

Функция S (, , ) при распределении внутренних источников тепла по (3) имеет вид

, (6,а)

где .

.

При равномерном распределении внутренних источников тепла по (4)

(6, б)

.

На границе активного слоя при  =  обе формулы дают одинаковый результат.

При чисто поверхностном нагреве (в печи сопротивления, соляной ванне, плазменной электронно-лучевой установке и т.д.) вся мощность вводится с поверхности с интенсивностью, характеризующейся удельной поверхностной мощностью р₀, Вт/м². Параметр  при этом равен нулю, уравнение (2) принимает вид:

Это уравнение должно решаться при граничном условии второго рода

При этом S-функция имеет вид:

(7)

Функция s (,  ) может быть получена как частный случай (6), когда при индукционном нагреве и ярко выраженном поверхностном эффекте толщина активного слоя становится очень мала, ∆_е  0,   0.

Решение уравнения (7) вида может быть использовано для расчета температурного поля при поверхностном нагреве при заданной плотности потока тепла, а также для учета тепловых потерь при нагреве внутренними источниками тепла.

Поверхностный нагрев при неизменной плотности теплового потока на поверхности тела (поверхностной мощности р₀) реализуется с удовлетворительной точностью в условиях внешнего лучистого теплообмена в печах сопротивления в начальный период нагрева.

Бесконечные ряды в S функциях играют существенную роль только в начальный период времени, по мере нагрева, когда значения критерия Фурье становятся больше 0,3, численные значения рядов становятся исчезающе малыми по сравнению с тремя первыми слагаемыми, и практически с функции становятся полиномами второй степени – наступает регулярный режим.

При регулярном режиме нагрева с постоянной поверхностной мощностью температура в каждой точке нагреваемого тела меняется во времени практически по линейному закону, распределение температуры по сечению нагреваемого тела описывается уравнением параболы.

Время, необходимое для достижения температуры Т_к на глубине х₀, в общем случае можно определить по зависимости Т = f (t) при Т = 2х₀/d. Для нагреваемой поверхности  = 0, для середины нагреваемой с двух сторон плиты  = 1. По этим зависимостям определяются и перепады температуры между поверхностью и серединой плиты для любого момента времени. При регулярном режиме время нагрева поверхности можно сразу определить по формуле:

.

Время нагрева середины по формуле:

.

Перепад температуры между поверхностью и серединой плиты при регулярном режиме равен

Распределение температуры в теле с внутренними источниками тепла с учетом тепловых потерь можно представить в виде

,

где - функция, описывающая температурное поле без учета тепловых потерь и определяемая по (6); - функция, учитывающая тепловой поток g₀ от поверхности тела в окружающую среду

,

где K_ig – число Кирпичева, характеризующее тепловые потери.

Условия теплоотдачи с поверхности тела определяются соотношением

где - производная относительной температуры по безразмерному орту нормали к поверхности тела; Bi = R/ - число Био, характеризующее интенсивность тепловых потерь;  - коэффициент теплоотдачи с поверхности тела.

Основная трудность учета тепловых потерь при нагреве внутренними источниками тепла заключается в том, что плотность теплового потока с поверхности нагреваемого тела зависит от температуры поверхности, которая может быть определена только при расчете температурного поля и заранее неизвестна. Таким образом, задача является нелинейной и должна решаться методом последовательных приближений.

Влияние тепловых потерь с поверхности нагреваемого тела на распределение температуры при индукционном нагреве зависит от конечной температуры нагрева, качества тепловой изоляции, также от времени нагрева и удельной поверхностной мощности. При нагреве под поверхностную закалку, когда время нагрева очень мало (единицы и доли секунд), а удельная мощность велика (до 10⁴ кВт/м²), влиянием тепловых потерь можно пренебречь. Закалочные индукторы не нуждаются в тепловой изоляции.