V. Законы сохранения в механике
-----------------------------------------------------------------------
Сплошной цилиндр и шар, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот
,
на которые смогут подняться эти тела,
равно …
|
15/14 |
|
5/4 |
|
3/4 |
|
1 |
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
В
рассматриваемой системе «тело – Земля»
действуют только консервативные силы,
поэтому в ней выполняется закон
сохранения механической энергии,
согласно которому 
,
или 
,
где J –
момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр масс,
–
угловая скорость вращения вокруг этой
оси, h –
высота, на которую сможет подняться
тело. Отсюда с учетом того, что 
,
получаем: 
.
Моменты инерции сплошного цилиндра и
шара равны соответственно 
и 
.
Тогда искомое отношение высот 
.
---------------------------------------------------------------------
График зависимости кинетической энергии от времени для тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид, показанный на рисунке …
|
|
|
|
|
|
|
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Кинетическая
энергия тела
,
где
и
–
проекции скорости тела на оси OX и
OY соответственно. Для тела, брошенного
под углом α к горизонту,
,
.
Тогда
.
Это уравнение параболы со смещенной
вершиной, ветви которой направлены
вверх, причем
.
Поэтому график зависимости кинетической
энергии тела, брошенного с поверхности
земли под некоторым углом к горизонту,
от времени имеет вид:
---------------------------------------------------------------------
Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии
друг
от друг, как показано на рисунке:
Стержень
вращается без трения в горизонтальной
плоскости вокруг вертикальной оси,
проходящей посередине между шариками,
с угловой скоростью
.
Если шарики раздвинуть симметрично на
расстояние 
,
то угловая скорость 
будет
равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Согласно
закону сохранения момента импульса, 
.
Здесь J – момент инерции шариков
относительно оси вращения,
–
угловая скорость вращения вокруг
этой оси. Отсюда 
.
Таким образом, угловая скорость
уменьшится в 4 раза.
---------------------------------------------------------------------
Горизонтально летящая пуля пробивает брусок, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности. В системе «пуля – брусок» …
|
импульс сохраняется, механическая энергия не сохраняется |
|
импульс сохраняется, механическая энергия сохраняется |
|
импульс не сохраняется, механическая энергия сохраняется |
|
импульс не сохраняется, механическая энергия не сохраняется |
-----------------------------------------------------------------------
Решение: Закон сохранения импульса выполняется в замкнутых системах. Система «пуля - брусок» не является замкнутой, так как на нее действуют сила притяжения к Земле и сила реакции опоры. Однако проекции этих сил на горизонтальное направление равны нулю, поэтому проекция импульса системы на указанное направление не изменяется. Поскольку речь идет о горизонтально летящей пуле и брусок может двигаться только в горизонтальном направлении, можно утверждать, что импульс системы сохраняется. Закон сохранения механической энергии выполняется в консервативных системах. В данном случае внешние силы консервативны (силами трения между бруском и гладкой поверхностью можно пренебречь), но есть внутренние неконсервативные силы, действующие в системе в момент пробивания пулей бруска и совершающие работу. Поэтому механическая энергия рассматриваемой системы не сохраняется.
---------------------------------------------------------------------
Теннисный мяч летел с импульсом
в
горизонтальном направлении, когда
теннисист произвел по мячу резкий удар
длительностью 
0,1 с.
Изменившийся импульс мяча стал
равным 
(масштаб
указан на рисунке):
Средняя
сила удара равна …
|
40Н |
|
30Н |
|
0,4Н |
|
0,2Н |
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Изменение
импульса мяча равно 
.
Величина 
(см.
рис.). Следовательно, сила удара равна:
.
---------------------------------------------------------------------
Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике
:
Кинетическая
энергия шайбы в точке С ______, чем в точке
В.
|
в 2 раза больше |
|
в 2 раза меньше |
|
в 1,75 раза больше |
|
в 1,75 раза меньше |
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
В
точке А шайба имеет только потенциальную
энергию. По закону сохранения механической
энергии, 
и
.
Отсюда 
и
.
Следовательно, кинетическая энергия
шайбы в точке С в 2 раза больше, чем в
точке В.
---------------------------------------------------------------------
График зависимости потенциальной энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке …
|
|
|
|
|
|
|
|
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Потенциальная
энергия тела в поле силы тяжести
определяется формулой 
.
Для тела, брошенного под углом к горизонту
и в конце концов упавшего на землю,
график зависимости потенциальной
энергии от высоты подъема имеет вид,
представленный на рисунке.
---------------------------------------------------------------------
Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки с одной и той же высоты. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение скоростей
,
которые будут иметь эти тела у основания
горки, равно …
|
|
|
|
|
|
|
1 |
---------------------------------------------------------------------
Человек, стоящий в центре вращающейся скамьи Жуковского, держит в руках длинный шест. Если он повернет шест из вертикального положения в горизонтальное, то …
|
угловая скорость скамьи и кинетическая энергия уменьшатся |
|
угловая скорость скамьи уменьшится, кинетическая энергия увеличится |
|
угловая скорость скамьи увеличится, кинетическая энергия уменьшится |
|
угловая скорость скамьи и кинетическая энергия увеличатся |
-----------------------------------------------------------------------
Решение:
Согласно
закону сохранения момента импульса
.
Здесь J – момент инерции человека с
шестом и скамьи относительно оси
вращения,
–
угловая скорость его вращения вокруг
этой оси. Тогда
.
Поскольку при повороте шеста из
вертикального положения в горизонтальное
момент инерции системы увеличивается,
то угловая скорость вращения уменьшается.
Кинетическая энергия тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, равна:
.
Тогда
.
Таким образом, кинетическая энергия
системы уменьшится.
---------------------------------------------------------------------
Шар массы
,
имеющий скорость
v,
налетает на неподвижный шар массы
:
После
соударения шары будут двигаться так,
как показано на рисунке …
|
|
|
|
|
|
|
|
-----------------------------------------------------------------------