МЕХАНИКА

---------------------------------------------------------------------

1. Кинематика поступательного и вращательного движения

---------------------------------------------------------------------

1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано на графике:

Через 11 с тело окажется повернутым относительно начального положения на угол __рад.

	0
	12
	24
	4

---------------------------------------------------------------------

2. Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию угловой скорости   так, как показано на рисунке. Вектор угловой скорости   и вектор углового ускорения   направлены в одну сторону в интервалы времени …

	от 0 до   и от   до
	от 0 до   и от   до
	от   до   и от   до
	от 0 до   и от   до

-----------------------------------------------------------------------

Решение: По определению угловое ускорение тела , где  – его угловая скорость. При вращении вокруг неподвижной оси векторы  и  коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное. Направление вектора  связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В интервале времени от 0 до  вектор угловой скорости направлен вдоль оси OZ и, поскольку скорость увеличивается, вектор углового ускорения направлен так же. В интервале времени от  до  вектор угловой скорости направлен против оси OZ, но скорость при этом также увеличивается, следовательно, вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости.

---------------------------------------------------------------------

3. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии с графиком, представленным на рисунке.

Угловое ускорение тела (в единицах СИ) равно …

	5
	0,5
	0,05
	50

---------------------------------------------------------------------

4. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной. До остановки диска правильно изображает направление угловой скорости вектор …

	4
	1
	2
	3

---------------------------------------------------------------------

5. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной. При этом правильно изображает направление углового ускорения диска вектор …

	4
	1
	2
	3

-----------------------------------------------------------------------

Решение: По определению угловое ускорение тела  , где   – его угловая скорость. При вращении вокруг неподвижной оси векторы   и   коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное. Направление вектора   связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В данном случае вектор   ориентирован в направлении 4, и, так как после приложения силы движение становится ускоренным, вектор   ориентирован в направлении 4.

---------------------------------------------------------------------

6. Тело движется с постоянной по величине скоростью по траектории, изображенной на рисунке: Для величин полного ускорения а тела в точках А и В справедливо соотношение …

-----------------------------------------------------------------------

Решение: Величина полного ускорения определяется соотношением  , где   и   тангенциальное и нормальное ускорения соответственно, причем  ,  , где R – радиус кривизны траектории. Так как по условию скорость по величине постоянна, то тангенциальное ускорение всюду равно нулю. В то же время величина нормального ускорения в точке А больше, чем в точке В, поскольку радиус кривизны траектории в точке А меньше, чем в точке В, что видно из рисунка. Таким образом, величина полного ускорения в точке А больше, чем в точке В.

---------------------------------------------------------------------

7. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью   без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении …

	3
	1
	2
	4

-----------------------------------------------------------------------Решение: Качение однородного кругового цилиндра (диска) по плоскости является плоским движением. Плоское движение можно представить как совокупность двух движений: поступательного, происходящего со скоростью  центра масс, и вращательного вокруг оси, проходящей через этот центр. Тогда . Поскольку диск катится без проскальзывания, скорость точки диска, соприкасающейся с поверхностью, равна нулю. Отсюда следует, что . Вектор направлен по касательной к окружности в рассматриваемой точке (для точки А – в направлении 2). Тогда вектор скорости  точки А ориентирован в направлении 3.

---------------------------------------------------------------------

8. Точка М движется по спирали с равномерно убывающей скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина полного ускорения точки …

	уменьшается
	увеличивается
	не изменяется
	равна нулю

-----------------------------------------------------------------------

Решение: Величина полного ускорения определяется соотношением  , где   и   тангенциальное и нормальное ускорения соответственно, причем  ,  , где R – радиус кривизны траектории. Так как по условию скорость убывает равномерно, величина тангенциального ускорения остается постоянной. В то же время величина нормального ускорения уменьшается, поскольку при этом радиус кривизны траектории увеличивается, что видно из рисунка. Таким образом, полное ускорение точки уменьшается.

---------------------------------------------------------------------

9. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса R=2 м с угловой скоростью, модуль которой изменяется с течением времени по закону . Отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 секунды равно …

	8
	4
	1
	2

-----------------------------------------------------------------------

Решение: Нормальное ускорение частицы равно , где R – радиус кривизны траектории. Тангенциальное ускорение определяется выражением . Следовательно, отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 с  равно .

-----------------------------------------------------------------------