Уравнение плоскости в отрезках.

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки

ЧСx_x\y{,z_x)\ M₂(x₂\y₂,z₂)\ M_}(x_},y.;z_}), не лежащие на одной прямой.

Пусть А/(х: у; z) - произвольная точка плоскости. Тогда векторы А/, М; А/,А/₂; А/, М. компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем

х-х, y-y_t z Z|

*2-*. Уг~У\ ^zi-z Уг-У, 2₃-z,

(не лежащие на одной прямой)

= 0 - уравнение плоскости, проходящей через три точки

Общее уравнение прямой задается как линия пересечения

двух известных плоскостей

Если q € а п р, где а : А,х + В,у + C,z + D, = 0;

Р: Л₂х + В₂у + C₂z + £>2 = 0, то

\ АуХ + 5, у + C,z + D, =0

Я-

А₂х + В₂у + C₂z + D, = 0

общее уравнение прямой.

СОБф =

Ц/я₂ + + р_{р₂\

•у/ю? + п,² + р_х' ■ ^т₂ +п₂ + р₂

Условие параллельности прямых:

т₂ п₂ р_г

Условие перпендикулярности прямых: т₁т₂ + п_хп₂ + =0.

А =

^а\\

^а21

^а\2

^а22

^а\п ^а2п

^ат\ ^ат2

Числа а_ч называются элементами матрицы. Первый индекс / указывает номер строки, второй индекс j указывает номер столбца, на пересечении которых расположен элемент о, _(/ .Матрицы обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В,С,... или сокращенно А = где / = 1 j = 1

Специальные виды матриц.

1. Баш т-п, т е. число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. При этом элементы а_и,а₂₂,...,а_т. имеющие одинаковые индексы, называют диагональными. Диагональные элементы образуют главную диагональ.

2. Симметрическая матрица - это квадратная матрица, у которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой: а = a_jt для любых i,j -

3 Единичная мафии а - это квадратная матрица, у которой все диагональные элементы

равны 1, а все остальные элементы равны 0. Единичная матрица обозначается Е.

'10 0 ••• 0^1

0. 1 0 ••• 0

0. 0 1 • • • 0 . Позже будет показано, что единичная матрица играет роль

Е =

ООО

единицы при умножении матриц.

3. Диагональная матрица - это квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны 0.

4. Верхняя треугольная матрица - это квадратная матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны 0.

5. Нижняя треугольная матрица - это квадратная матрица, у которой все элементы выше главной диагонали равны 0.

6. Если тФ п, т е. число строк не совпадает с числом столбцов, то матрица называется прямоугольной.

7. Матрица-строка - прямоугольная матрица размера (l х п):

^А = {^аи ^аи О-

3. Матрица-столбец- прямоугольная матрица размера (?? х l): А =

10. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны 0.

Пример. 5

на матрицу-столбец В -

размера (я х l) называется число, равное сумме попарных

\^b*iJ

произведений элементов матриц ^ийс одинаковыми номерами:

А ■ В = o_nb_u + н ь а,_аЬ_п1.

Пример, (l 0 5 3) •

= 1- 2 + 0-1 + 5- 0 + 3- 2 = 8.

W

Определение 2. Произведением матрицы А размера (т х р) на матрицу В размера (ря) называется матрица С размера (ихя), элемент с,.. которой равен произведению

1. ой строки матрицы А на j - ый столбец матшш «

Свойства операции транспонирования.

1. (АЛ)' = X • Л'; Хе Я;

2. (А + В)' = А' +В':

з (а') = а-

2. (А В)' = В' А';

3. Если А - симметрическая матрица, то А' = А;

4. Для любой матрицы А произведения вида А ■ А' и А' ■ А - симметрические матрицы.

. Определителем 2 порядка

1. Определители треугольных матриц равны произведению диагональных элементов.

Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А~¹ называется обратной для квадратной матрицы А, если А ■ А~^] = А~¹ А = Е , где Е - единичная матрица.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если |л| Ф 0.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если |.4| = 0.

Теорема(необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы):

|л|*0 => ЗА~\

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Вычисляем определитель: \А\ ф 0 ЗА~¹.

2. Для каждого элемента а_ч вычисляем алгебраические дополнения A_tj и формируем

Ып -Ап

матрицу алгебраических дополнений А =

\^А_п 1 ••• А_п^

3. Транспонируем полученную матрицу, получаем присоединенную матрицу А¹:

(А„ -А.

А‘ =

И-

А,„

3

4. = Е;

rl

5. clet(/J^-1 )= (deM^-1)

Матричные уравнения 1) А Х = В, где А : В - известные матрицы; А - квадратная невырожденная матрица; X - неизвестная матрица.

Для нахождения X сначала вычисляем обратную матрицу' А ¹. Затем домножаем обе части матричного уравнения на А~¹ слева:

А ¹ • А - X = А'¹ • В => Е ■ X = А~^] ■ В => X = А~^] В - решение уравнения.

2. X ■ А = В, где А; В- известные матрицы; А - квадратная невырожденная матрица; X - неизвестная матрица.

Для нахождения X сначала вычисляем обратную матрицу' А~¹ Затем домножаем обе части матричного уравнения на А~^] справа:

X А • А'¹ = В ■ А"' => X ■ Е - В А~' => X = В Л^-1 -решение уравнения.

(\ о\ Г-1

Пример. Решить уравнение •А' =

2-\) у 1

Решение. А = К => А-Х-В.

Вычисляем А

-1.

-■ "b-.-L.f-¹ °)=Р ⁰

2. \) -1 [-2 \) 1^2-1

(\ <Л Г-П (- Л

X - А В = I ^ I • | I - I -J Можно сделать проверку:

6 -*К-зН‘Э '-К

Раш матрицы

Пусть дана произвольная м.ирица I размера (отх я). Если в этой матрице выбрать произвольно к строки к столбцов (Л шш(от, н)), то элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и еголбцоп образуют квадратную матрицу порядка к. Определитель этой матрицы называетсн mi и юрод порядка к и обозначается М_к.

Определение. Рангом мшринм ил и.жаеи я наибольший порядок отличного от ну'ля минора этой матрицы Обозначение раш а мафицы А : RgA - rgA = rangA.

Из определения ранга A menyei что гу I г , если:

1. найдется по крайней мере один минор М / 0;/- й min(m;n);

2} все миноры порядка (» I 1) и шит р.шнм 0