Утверждение 2. Три вектора в пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

Утверждение 3. Всякие четыре и более вектора в пространстве всегда линейно зависимы.

Утверждение 4. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

Таким образом, для описания всех векторов плоскости достаточно выбрать какие-либо два линейно независимых вектора, например, <?,;е₂. Тогда все остальные можно задать в виде их линейной комбинации: а = Xja, + Х₂а ₂ .

Аналогично, выбрав в пространстве какие-либо три линейно независимых вектора, все остальные можно задать в виде их линейной комбинации: а = Xj а , + Х₂^а2 ⁺^-з^а- ■

Операции сложения и умножения на число обладают одинаковыми свойствами как на множестве действительных чисел R, так и на множестве геометрических векторов. С целью изучения общих свойств этих и подобных им множеств в линейной алгебре введено понятие линейного пространства. Линейное пространство - это обобщающее понятие для математических множеств различной природы, в которых введены линейные операции, обладающие теми же свойствами, что и линейные операции над геометрическими векторами.

а = А., а, + Х₇а₂

о; i; с линейно зависимы а,Ь\с компланарны

а\Ь: с линейно независимы а\ Ь\ с некомпланарны

Линейное пространство.

нем cyincciByer n iiiiiieimo независимых векторов, а любые (п + 1) линейно зависимы Как было показано, максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум, а любые ipn и бопсс иск трои линейно зависимы Следовательно, плоскость-

пространство).

Если в п-мерном мросфансгнс выбраны какие-либо п линейно независимых векторов {е, ,е ₂, ,е _п }. а> любой век тор >того пространства можно представить в виде их

основа (базис), с помощью которого можно описать все множество векторов данного пространства.

Определение. Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов, если

1. она линейно независима;

2. каждый вектор данного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Замечание. Число базисных векторов равно размерности линейного пространства

Таким образом, если в Rⁿ выбран базис ^, ;е ₂ ;-;е_л }, то любой вектор хе/г” можно представить в виде х = х₍е, +х₂е₂ +--- + х_дв_я , (4)

где скалярные м ножители (коэффициенты) х _f ;х ; - • •;х называются координатами вектора х в базисе

Га (мерноегь и базис линейного пространства.

Миж ннос пространство называется n-мерным и обозначается R", если в

двумерное линейное пространство R⁷ Аналогично, множео во векторов в пространстве образует R'(трехмерное линейное

линейной комбинации Следовательно, система векторов ^ ₍:е ₂

е _п j выступает как

- - - - 2 а = 2е\ + ег => а = I

с = 2а+ b; d = а-ЪЪ в этом базисе.

Решение, с = 2а + Ь = 2

5-2-3i-m-3-L

;м".

к.

2-3

1-1.5

⁴⁺¹ 1-Г

2 + 0,5) 12,5

-1

-0,5

■ с = 5е i+2,5ei;

=> с/= -ei-0,5^’. Ответ:

Определение. Базис плоскости, состоящий из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов, называется декартовым ортонормнрованным базисом. Приняты

следующие обозначения: е\ = /; ег = j ; I м = 1; I / = 1.

Определение. Если на плоскости заданы

1. точка О, называемая началом координат;

2. декартов ортонормнрованнмй базис {/ \j },

то говорят, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат.

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат I i hi на плоскости задан декартов оргонормированиый базис, то любой вектор

- - - - (х_а

(помес I пн его начало в точку О) можно представить в виде а = x_ai + y_aj а = I

где х_а = пр а - проекция вектора а на ось ОХ; У о ~ ^пР, ^а ~ проекция вектора а на ось OY.

I|римср a ^{0 =} ₂] ⁼ b = i+3j = ^j = {l;3}.

координатами а=

Уа

\^Za J

AOMN - прямоугольный (ON 1 MN).

\OM\ = \а\ = ^|cwf+|Д/Л’|²; рЩ = ^х_а² + у_а²\

|Л/Л'| = z_a. Тогда joj = -Jx_a~ + yj + zj . (2) Частный случай на плоскости: |ar| = -JxJ + yJ . (3)

Найти координаты

- (2 2. На векторах а =

Ь =

построен параллелограмм. Найти длины диагоналей

• (2

этого параллелограмма, если а =

Ь =

Решение.

— - -г

Ъ~\ — - -

d -а-Ь=

|iTj = т/3² + 4² = 5 ; р7| = л/1²+2² = л/5 .

3. Даны три вектора а =

Ь =

-2 Г

а) Найти модуль вектора р = а + Ь + с.

б) Разложить вектор р по векторам а и Ь . Решение.

а) р =

б) Разложить вектор р по век горим а и Ь означает представить вектор р в виде линейной комбинации векторов а и b:

f За + Р = 3

р = ад + |М

+ Р

а = 2

р = 2а-ЪЬ.

а-2р = 4 р = -3

Радиус-вектор. К'оорлннаты точки в пространстве.

• >iцч к пенни I ели М произвольная точка плоскости или пространства и задана к ».ip11т.» прямоугольная система координат XOY (nnnOXYZ), то вектор ОМ = г_и и.I ii.im.u u » радиус-вектором точки М Координатами точки М называются координаты ее рцдиус вектора

ОМ

г =0.1/ =

Уи

условие

-2- = Х

Zu

коллинеарности векторов в координатной форме

Координаты единичного вектора.

Пусть в декартовой системе координат задан вектор а =

\

Найдем координаты его орта а° - вектора единичной длины, сонаправленного с вектором а. Как было установлено ранее, а° = Тогда

Н

+ v„ + z„

/V

у,

+ у_а + z_a

Можно показать, что координаты орта а° являются косинусами углов a; (J; у, которые вектор а образует с осями координат: а° = (cos a, cos Р; cos у) Координаты орта а° называются направляющими косинусами вектора а°

(или вектора а). При этом, т.к. |a°j = 1, то

cos² а + cos^: р + cos² у = 1 -свойство направляющих косинусов.

3>

Пример. Найти углы, которые образует вектор а =

Найти орт направления а".

2)' = 3 ; cos а = =

3

-2

с осями координат

Решение. |а| = JI² +2² +(-2)' = 3 ; cos а = ^ - => а = arccos —;

^Г| Щ 3 3

О Уа 2 2 z_a 2 2

cos р = р^- = — => р = arccos —; cos у = у = arccos(—)

R

3. 3

а; р-острые углы; cosy < 0 => у-тупой угол.

12 2'

а" = I —; —;— | - орт направления а.

Так как cos а > 0, cosp>0

I 1-1

.З’З’ 3

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов а и b называется число. обозначаемое символом а b, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними: а ■ 6 = |aj -jfej -cos fc*) (*)

Следствие.

sf ,b) =

а b

(2)

(5)

• формула для вычисления скалярного произведения векторов в координатной форме.

Доказательство. ^а = ^xa^{i +} y_aJ ^{+ г}Л\ Ь = x_bi + y_kj + z_hk.

a b = (x_ai + y_aj + z_ak) ■ (x_hi + y_hj + z_hk) = x_ax_bi i + x₀y_hi j + x_az_bi k + y_ax_h j i +

= ' (y_az_h ~ Уь*.)~ J (*Л ~ x_bz_e ) + к {х_ау„ - х_hy_a). (*)

' J ^к

с - axb = х_а у_а z_a У*

Доказательство.

c = axb = (x_Bi + y_aj + z„k)х (x_hi + yj + z_hk) =

= x_ax_h / x i + x_ay_h ixj + x_az_h i xk + y_ax_h jxi + y_ay_h jxj + y_az_h j x к + z_ax_h kxi+ z_ay_b kxj + + z_az_h к x к.

Учитывая, что |/ х г | = Г 1 sin О => i х / = 0; аналогично j х j = 0; к х к = 0;

/ х j = к, jxk = i; кхг = j, получаем формулу (*).

Пример 1.

На векторах a = 2j + к и b = i + 2k построен параллелограмм. Найти площадь этого параллелограмма.

Решение.

/ 7 к

axb =

0 2 1 1 0 2

= f(4-0)-/(0-l)+A(0-2)=4/ + >-2*.

S = \axb\ = yl4²+\¹+(-2)¹ =yf2A.

Определение. Смешанным произведением трех векторов а; b; с называется чисчо, равное скалярному произведению вектора а х Ь на вектор с.

Обозначение, abc = (а* Ь) с.

Геометрический смысл смешанного произведения трех некомпланарных векторов а;Ь,с заключается в том, что по абсолютной величине смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а:Ь,с, как на сторонах: V-— = | abcj.

Свойства смешанного произведения.

1 )abc=cab=bca, те. при циклических перестановках смешанное произведение не меняется;

2. а Ъ с = (а х Ъ) ■ с = а (£ х с);

3. abc = - acb --Ьас, т.е. при перемене мест любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак;

4. abc = 0, если:

• хотя бы один из векторов нулевой;

• два из векторов коллинеарны;

• abc компланарны;

2. а£с = 0 <=> а \Ь\с компланарны.

Доказательство: a) abc компланарны V = 0;

б) abc = 0 => смотри свойство 4.

= > {Ук²с ~ Ус²Ь ) - J (*Л²с - ^Xc^Zb ) + ^к (^ХьУс - ^ХсУь ) ■

Теперь умножаем скалярно а на Ьхс:

а ■ (Ьх с) = х_а {У_ьг_с-У'2_ь)-У„ {x_bz_t -x_tz_h)+ z_a {х_ьу_с-х_су_ь).

Основы аналитической геометрии.

Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрии алгебраическими методами. Основные геометрические объекты - точка, прямая, плоскость, линии, поверхности - их необходимо описать числовыми характеристиками.

В основе этого описания лежит метод координат. Его предложил французский математик Рене Декарт (1596-1650). Декартовы прямоугольные системы координат нами были введены ранее. Любой точке М соответствует пара (тройка) чисел. Введение декартовой прямоугольной системы координат позволяет сопоставить любую точку плоскости или пространства с парой {х: у) или тройкой (х; v;z) действительных чисел.

Уравнение линий и поверхностей в декартовой системе координат.

Определение. В декартовой системе координат XOY плоскости уравнение вида F(x,y) = 0 называется уравнением линии L . если ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащие линии L и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих линии L.

Примеры.

1. x^J+j²=2^J <=> х² + у² - 4 = 0 - окружность с центром (0;0) радиуса 2.

2. у = х² <=> у - jc² = 0 - парабола.

3. х + у + 3 = 0 - прямая.

Уравнение F(x,y) = 0 не всегда задает линию. Например, х² + у¹ +1 = 0 не задает ничего в XOY, т.к. нет точек, которые удовлетворяли бы данному уравнению Определение. Пусть с пространстве задана декартова прямоугольная система координат OXYZ. Тогда уравнение F(x; y\z) = 0 называется уравнением поверхности а, если ему удовлетворяют координаты любых точек М (дс; у; z) е ст и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих <т.

Например, уравнение (х - аУ + (у - b)² + (z - с)¹ = R² задает уравнение сферы радиуса R с центром в точке (а:Ь:с). Линию в пространстве можно задать как линию

, \F_x(x\y,z) = 0

пересечения двух известных поверхностей ст, и а₂. L = а, па,: ^ ^

(2) - каноническое уравнение прямой.

коллинеарны.

Следовательно, по условию коллинеарности двух векторов имеем

х-х₀ _ у- у₀

Пример.

Известны точка А/(1;2), лежащая на прямой, и направляющий вектор I

Написать уравнение прямой

Решение.

х-l у-2

Ьх-6 = Ъу-Ь

у = 2х.

Решение.

3-1 4-2

уравнение прямой; п -

-1

• нормаль; у = х+ 1 => ft = 1 = tga

а = 45°

Угол между прямыми.

Определение. Углом между прямыми называется наименьший из углов, образующихся при пересечении данных прямых.

Пусть заданы общие уравнения прямых:

• 14

q_x : Л,х + B_ty + С, = 0 => «, =

• (А_г

q₂ : А₂х + В₂у + С₂ = 0 => /7, = I ^

Тогда угол между прямыми равен углу между их нормалями, причем т.к.

фе

COS ф =

cos ф > 0.

|у4, + В\В_г

О

Н К + в; -Ja' + bS '

Расстояние от точки до прямой.

У Расстояние от точки М₀(х₀;у₀) до

д/ прямой Ах + By + С = 0 вычисляется по

формуле

Ах_а + Ву_о + С|

d =

3. а¹ + В¹

Пример. Найти расстояние от точки М(3;3) до прямой х + у +1 = 0 .

3+3+1 7

Решение, d =

л/Г+Т л/2 '