ВЕКТОРЫ

В физике, химии, механике встречаются величины, которые полностью характеризуются только числовым значением (скаляром). Например, масса тела, температура. Такие величины называются скалярными. Вместе с тем для задания скорости, силы, ускорения надо указать не только число вое значение, но и направление. Такие величины называются векторными.

Определение. Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначение: АВ; а.

Модулем вектора АВ называется длина отрезка, равная расстоянию между точками А и В. Обозначение: \АВ\:\а\. Из определения модуля вектора следует, что ] АВ\> О Если модуль вектора равен нулю, то его называют нуль-вектором и обозначают 0 : | 0 |= 0. Если длина вектора равна единице, то его называют единичным.

\а | = 1 => а - единичный вектор.

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными и обозначают а\\Ь . При этом если векторы а и b направлены в одну сторону, то их называют сонаправленными: если в противоположные стороны, то противоположно направленными.

Сонаправленные Противоположно направленные

Определение. Два вектора а и b называются равными [а = b), если

1. их модули равны ]а( = |й|; 2) векторы а и b коллинеарны и сонаправлены.

Для задания любого вектора достаточно указать его модуль и направление, не фиксируя точку приложения. Такой вектор всегда можно переместить в требуемую точку пространства. Векторы, для которых определены только направление и модуль, называют свободными векторами. Мы будем рассматривать свободные векторы.

Если в пространстве заданы два вектора а и b, то, используя определение равенства векторов, их можно привести к одному началу. Тогда углом между векторами а и b называется наименьший угол ф е [0; к), на который нужно повернуть вектор а до совпадения с вектором b.

Для любого вектора а определим противоположный ему вектор, обозначаемый (- о) такой, что модули этих векторов равны, они коллинеарны, но противоположно направлены.

2. Правило параллелограмма приводим векторы к общему началу, достраиваем фигуру до параллелограмма. Тогда суммой будет вектор, идущий из общего начала в противоположную вершину параллелограмма.

Свойства сложения векторов:

1 )a+b=b+a: 2) (а + b)+ с = а + {b + с);

3)о + (-а)=0; 4 )а + 0=а.

Разностью векторов а и Ь назовем вектор а-b, равный сумме вектора а и вектора (-6): a-b = a + [-b)

Умножение вектора на действительное число Определение. Произведением вектора а на действительное число X е R называется новый вектор, обозначаемый Ха, сонаправленный с а при X > 0; противоположно направленный с а при X < 0, модуль которого равен |Хо| = |Х| Jaj.

Свойства операции умножения вектора на X е R.

Для любых Я.,ц е R; любых а; Ь

1. 1 а = а, 2) X (ра)= (А.р)-а;

3. (X. + ц) а = Ха + ца; 4) х(а + b)- Ха + ХЬ Следствия 1) - l a = -о; 2)0 а = 0; 3)Х0=0.

”Р-_ка>0 _пр__а < о ^пРь^{а 0}

Лннеиная зависимость векторов.

Пусть даны п векторои а\,а2',-\а_п (/те А') Любая конечная последовательность линейных операций над этими векторами называется линейной комбинацией векторов

Примеры линейных комбинаций: 2a_t + а₂\ З^ + 2 - ау, огг ^{_ а}4 ■

Общий вид линейной комбинации векторов а\; aj; ■ • •; а„ '■

П

A-iflj + Х₂ ^а2 ⁺ "’ ⁺ ^-п ^ап = ■ ^где Х₂; • : Х„ е/? (скалярные множители) (1)

i=1

Если в (1) Я.| = Х-2 = •• • = Х„ = 0, то линейная комбинация называется тривиальной.

Условие нетривиальности линейной комбинации принято записывать в виде + X? + • • • + Х^, * 0. Это означает, что хотя бы один из X, отличен от т ля

Определение. Система векторов а\; ау - - ■; а_п называется линейно независимой, если равенство Xj а\ + Х-2 aj + • • • + Х„ а„ = 0 (2)

возможно только тривиальным образом (т.е. когда Xj = Х2 = ■ •• = Х_и = 0).

Определение. Система векторов а\; ау ■ ■ •; а_п называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов, равная нулю:

[X\ai +Х.₂^а2 ⁺ '"*-п^ап ~ 0 |Х] + }?2 + ■ ■ • + Х²„ * 0.

Выясним смысл понятий линейной зависимости и линейной независимости, а также связь этих понятий с расположением векторов на плоскости и в пространстве.

Теорема 1. Для того, чтобы система векторов а\ , а2 ', ■ ■ ■', была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть выполнено условие линейной зависимости:

Л]<2| +Х₂ (32 + —f Х„ а„ = 0, и при этом хотя бы один из коэффициентов Х[; Х₂; • • ■; Х„

линейная комбинация векторов, равная нулю:

- Х-) -

Пусть X] * 0. Тогда, разделив на X], получим а + ——Ъ - 0, или а- —- ¹

b . А это и

Х| X,

означает, что а и b коллинеарны

Теорема 3. Всякие три вектора ^,;а₂;а₃}, лежащие в одной плоскости, линейно зависимы.

Доказательство:

Рассмотрим два случая.

1. Среди векторов ,; а₂; а₂ } имеется два коллинеарных. Положим для определенности

а, || а₂. Тогда а, =Ха₂, или а_{ -Ха₂ =0, или а, -Ха₂ +0 а₃ = 0. Получена нетривиальная линейная комбинация векторов ,; а ₂; а.}, равная нулю. Следовательно, система векторов ,; а ₂; а,} линейно зависима.

2. Среди векторов ,; а₂; а,} нет коллинеарных Пр1геедем все векторы к одному началу. При этом возможны два различных случая: вектор а ₃ расположен внутри угла Ф = (а,; а ₂) или вне этого угла.