34. Основная теорема статики.
Для
произвольной системы сил
введем
два определения.
Главным вектором системы сил называют величину, равную сумме всех сил системы,
(3.1)
Главным моментом системы сил относительно некоторого центра О называют величину, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра,
.
(3.2)
Основная теорема статики (теорема Пуансо). Произвольная пространственная система сил эквивалентна силе, равной главному вектору системы и приложенной в некоторой точке (центре приведения), и паре сил, момент которой равен главному моменту системы относительно выбранного центра приведения.
Доказательство
Р
ассмотрим
систему сил
,
показанную на рис. 3.2. Используем
доказанную лемму и перенесем все силы
в центр приведения O,
добавляя соответствующие пары сил.
В результате получим:
– систему
сходящихся сил
,
где
;
– систему
пар сил, моменты которых
,
где
.
Систему сходящихся сил заменим ее равнодействующей
,
равной главному вектору исходной системы, а систему пар сил – одной парой, момент которой
равен главному моменту исходной системы относительно центра O.
Теорема доказана.
Следствие.Две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые главные векторы и одинаковые главные моменты относительно одного и того же центра.
|
Рис.
3.3.
(рис.
3.3). Сила
не
зависит от выбора центра приведения и
равна сумме всех сил системы, т.е.
.
Определим главный момент системы относительно нового центра
где
.
Таким образом,
,
(3.3)
т.е. при изменении центра приведения главный момент изменяется на величину момента силы, равной главному вектору и приложенной в первоначальном центре приведения, относительно нового центра приведения.
Предположим,
что для некоторого центра O:
и
.
Тогда вследствие формулы (3.3) для любого
центра
:
и
.
35. Плоская произвольная система сил. Уравнения равновесия в трех формах.
|
1.4.4 Уравнения равновесия плоской системы сил Плоская
система сил может быть приведена к
главному вектору и главному моменту.
Поэтому условия равновесия сил на
плоскости, как показано выше, имеют
вид:
Итак, для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нилю. Главный
вектор F'гл
представляет собой геометрическую
сумму всех сил, составляющих систему
и перенесенных в центр приведения.
Модуль главного вектора можно
определить через проекции на
координатные оси всех сил системы.
Применив для сумм проекций всех сил
на оси х и у обозначения
Главный вектор равен нулю, если оба слагаемых под корнем равны нулю, т. е.
Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю, т. е,
В дальнейшем для упрощения записи уравнений равновесия при решении задач будем опускать индексы у сумм. Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая (основная форма этих уравнений) выведена выше:
Три уравнения равновесия для плоской системы сил соответствует трем возможным степеням подвижности тела в плоскости — двум перемещениям вдоль осей х и у и вращению вокруг произвольной точки плоскости. При решении многих задач рациональнее пользоваться другими формами уравнений равновесия. Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то можно, выбрав три произвольные точки А, В, С и приравняв нулю сумму моментов относительно каждой из них, получить три следующих уравнения равновесия:
Это вторая форма уравнений равновесия. Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой. Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х:
При пользовании этой формой уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В. Для системы параллельных сил, выбрав одну из осей проекций, параллельной этим силам, а другую — перпендикулярной к ним, получим два уравнения равновесия (рис.35).
Первая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примет вид:
При этом первое уравнение равновесия можно трактовать как равенство нулю алгебраической суммы всех заданных параллельных сил, так как на параллельную ось они проектируются в натуральную величину. Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид:
Итак, для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы параллельных сил — только два. Соответственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил — не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой. |
получим
для значения главного вектора выражение
