3. 7. Плоскость и прямая в пространстве

1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости есть уравнение первой степени относительно :

.

Вектор перпендикулярен к плоскости.

2. Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение

.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,

, :

4. Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

Пример. Найти расстояние до плоскости, проходящей через точки , , , от начала координат.

Решение. Составим уравнение плоскости

,

; .

Расстояние от начала координат до плоскости

.

5. Общие уравнения прямой записываются как линия пересечения двух плоскостей:

если и не коллинеарны.

6. Канонические уравнения:

–прямая, проходящая через точку в направлении .

7. Прямая, проходящая через две данные точки

8. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой с плоскостью определяются соотношениями направляющих векторов и . Например, если плоскости параллельны, то , если прямая параллельна плоскости, то и т. п.

Пример. Через точку провести прямую, перпендикулярно плоскости .

Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой , так как его длина несущественна, можно взять . Имеем : .

Пример. Точки , , , являются вершинами пирамиды. Вычислить 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) Объем пирамиды; 5) уравнения прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 8) длину этой высоты.

Решение. Найдем координаты векторов — ребер:

.

, ,

.

1. Длина вектора .

2) ,

,

Скалярное произведение: ,

,

.

Из таблиц (или с помощью калькулятора) находим .

3) Площадь грани .

Векторное произведение

;

,

4) Объем пирамиды .

Смешанное произведение

,

.

5) Уравнения прямой пишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:

; ;

.

6) Уравнение плоскости по трем точкам:

.

; ;

.

7) Уравнение высоты . Канонические уравнения прямой:

.

Прямая проходит через точку , в качестве направляющего вектора возьмем вектор — нормаль к плоскости .

8) Длина высоты может быть найдена как расстояние т. от плоскости

или

; .

4. Комплексные числа

4.1. Комплексным числом называется выражение вида:

,

где и — любые действительные числа, а — так называемая мнимая единица, удовлетворяющая условию

.

Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа .

Комплексные числа можно представлять точками плоскости или же векторами этой плоскости.

4. 2. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается через , так что .

Угол , образованный вектором с положительным направлением оси называется аргументом комплексного числа и обозначается

.

,

где – главное значение , определяемое условиями , причем,

Так как , , то — тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера

можно перейти от тригонометрической формы к показательной

.

4. 3. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: ; . Или когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную :

,

4. 4. Основные действия над комплексными числами.

При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части

.

, .

Умножение: .

Деление:

.

Возведение в степень целое):

.

Корень из комплексного числа целое):

.

Корень – ой степени из любого числа имеет различных значений, которые располагаются в вершинах правильного – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример. Даны комплексные числа в алгебраической форме:

; . Записать их в тригонометрической и показательной формах, изобразить на комплексной плоскости.

Выполнить указанные действия: , , , . Найти все корни уравнения , изобразить их на плоскости.

Решение.

Изобразим числа и на комплексной плоскости

, , .

,

.

Тригонометрическая форма:

, .

Показательная форма числа: ; .

Для ; ; ;

,

Выполним действия:

1. ,

2. ,

Умножаем по правилу умножения многочленов, учитывая, что или . (При умножении показатели складываются).

3)

.

В показательной форме:

. (При делении показатели вычитаются).

4) . Лучше это действие выполнять в показательной форме

.

Найдем корни уравнения , .

Корень третьей степени из комплексного числа имеет три различные значения. В данном случае

.

, ,

имеют одинаковый модуль, значит они располагаются на окружности с центром в начале координат, радиусом , так как разность аргументов , то они лежат в вершинах правильного вписанного треугольника.