
- •1 Семестр
- •Предисловие
- •Элементы линейной алгебры, векторная алгебра, аналитическая геометрия. Комплексные числа
- •Элементы линейной алгебры
- •1. 3. Нахождение обратной матрицы.
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2. 1. Прямая линия
- •3. Кривые второго порядка
- •4. Векторная алгебра аналитическая геометрия в пространстве
- •3.1. Координаты вектора.
- •3. 2. Основные действия с векторами.
- •Угол между векторами:
- •3.6. Разложение вектора по базису.
- •3. 7. Плоскость и прямая в пространстве
- •4. Комплексные числа
- •Задания по теме «Элементы линейной алгебры»
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •3. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия в пространстве.
- •4. Комплексные числа.
4. Векторная алгебра аналитическая геометрия в пространстве
3.1. Координаты вектора.
Обозначим единичные векторы координатных
осей соответственно
,
,
.
,
,
,
.
Любой вектор
может быть единственным способом
разложен на составляющие по
координатным осям:
,
,
,
.
Числа
,
,
проекции вектора на оси координат,
называются координатами вектора
в базисе
.
3. 2. Основные действия с векторами.
Пусть
,
,
– скаляр.
1.
,
,
.
2.
.
3.
.
4. Длина (модуль)
вектора:
.
5. Условие параллельности
векторов:
.
6. Чтобы найти
координаты вектора надо из координат
его конца вычесть координаты начала
.
Пример. Найти
длину вектора
,
если
,
.
Решение. По 6:
,
.
Его длина (4):
(ед).
3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле:
.
Угол между векторами:
Условие перпендикулярности векторов:
.
Проекция вектора
на направление
:
.
Пример.
Найти угол между векторами
;
.
Решение.
Находим
;
,
;
,
.
3. 4. Векторное произведение.
Векторным произведением
на
называется вектор
,
удовлетворяющим трем условиям
,
;
,
3.
образуют правую тройку, т. е. с конца
вектора
вращение от
к
,
по наименьшему углу, выглядит против
часовой стрелки.
Обозначают
.
Обратите внимание,
.
— модуль векторного произведения
численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
как на сторонах.
Если известны координаты сомножителей, то
.
Пример. Построить
векторы
,
,
.
;
.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
как на сторонах.
Решение. Найдем вектор .
.
Сделаем чертеж.
На
векторах
и
,
как на сторонах, строим параллелограмм
ОАВD. Его
площадь численно равна
,
т. е. длине вектора
.
;
Площадь параллелограмма
.
5. Смешанное произведение трех векторов есть число
.
В координатной форме :
.
Модуль смешанного произведения
—
численно равен объему параллелепипеда,
построенного на векторах
,
как на сторонах.
Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая.
Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.
.
3.6. Разложение вектора по базису.
Любые три вектора
,
,
,
не лежащие в одной плоскости, могут быть
приняты за базис в
.
Всякий вектор
может быть разложен по этому базису, т.
е. представлен в виде
.
Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
;
,
.
Решение. Найдем смешанное произведение
,
Объем
Пример.
Убедиться, что векторы
не лежат в одной плоскости, написать
разложение вектора
по векторам
если
;
;
;
.
Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .
не лежат в одной плоскости и могут быть
приняты за базис.
2) Разложим вектор
по векторам
:
.
Чтобы найти
запишем это равенство для каждой
координаты
Решив систему уравнений любым известным
способом, находим
;
;
.
Значит,
.