4. Векторная алгебра аналитическая геометрия в пространстве

3.1. Координаты вектора.

Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно , , . , , , . Любой вектор может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:

, , ,

.

Числа , , проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора в базисе .

3. 2. Основные действия с векторами.

Пусть , , – скаляр.

1.  , , .

2. .

3. .

4. Длина (модуль) вектора: .

5. Условие параллельности векторов:   .

6. Чтобы найти координаты вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала .

Пример. Найти длину вектора , если , .

Решение. По 6: , . Его длина (4): (ед).

3. 3. Скалярное произведение векторов есть число, вычисляемое по формуле:

.

Угол между векторами:

Условие перпендикулярности векторов:   .

Проекция вектора на направление : .

Пример. Найти угол между векторами ; .

Решение. Находим ; ,

; ,

.

3. 4. Векторное произведение.

Векторным произведением на называется вектор , удовлетворяющим трем условиям

1. ,

2. ; ,

3. образуют правую тройку, т. е. с конца вектора вращение от к , по наименьшему углу, выглядит против часовой стрелки.

Обозначают .

Обратите внимание, .

— модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Если известны координаты сомножителей, то

.

Пример. Построить векторы , , .

; . Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Решение. Найдем вектор .

.

Сделаем чертеж.

На векторах и , как на сторонах, строим параллелограмм ОАВD. Его площадь численно равна , т. е. длине вектора .

;

Площадь параллелограмма .

3. 5. Смешанное произведение трех векторов есть число

.

В координатной форме :

.

Модуль смешанного произведения — численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах.

Смешанное произведение имеет знак плюс, если тройка векторов — правая, минус, если тройка левая.

Условие компланарности векторов. Векторы компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.

.

3. 3.6. Разложение вектора по базису.

Любые три вектора , , , не лежащие в одной плоскости, могут быть приняты за базис в . Всякий вектор может быть разложен по этому базису, т. е. представлен в виде .

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

; , .

Решение. Найдем смешанное произведение

,

Объем

Пример. Убедиться, что векторы не лежат в одной плоскости, написать разложение вектора по векторам если

; ; ; .

Решение. 1) Проверяем условие компланарности для векторов .

не лежат в одной плоскости и могут быть приняты за базис.

2) Разложим вектор по векторам :

.

Чтобы найти запишем это равенство для каждой координаты

Решив систему уравнений любым известным способом, находим ; ; . Значит, .