2. Аналитическая геометрия на плоскости

2. 1. Прямая линия

Общее уравнение прямой

.

Две прямые и параллельны, если , перпендикулярны, если . Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

.

Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямой , до прямой определяется формулой:

.

Условие параллельности двух прямых: ,

Условие перпендикулярности : .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , или уравнение пучка прямых:

.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и :

.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки: .

Уравнение прямой в отрезках на осях: .

Пример 1. Через точку провести прямые параллельно, перпендикулярно и под углом к прямой (АВ): .

Решение. Уравнения прямых, проходящих через точку :

,

.

Найдем угловые коэффициенты искомых прямых. Прямая (АВ) задана общим уравнением: . Выразив из него , получаем уравнение с угловым коэффициентом ; .

1. .

Уравнение : или .

2. .

Уравнение : или .

3. Прямая образует с угол . Обозначим ее угловой коэффициент через и воспользуемся формулой

; =1. Имеем , так как искомое может совпадать с или .

1) ; ; .

2) ; ; .

Искомые прямые

: или .

: или .

Пример 2. ; ; вершины треугольника. Найти уравнения стороны АС, высоты, медианы, проведенных из вершины В, длину этой высоты, угол А.

Решение. 1)Прямая (АС) проходит через две точки

; ;

(АС): или ; .

2)

(ВН): ; ; .

3) ВМ – медиана, М – середина АС,

; ;

(ВМ): ; ; .

4) Длина высоты равна расстоянию от точки В до прямой АС

; (ед.).

5) ; ;

; .

.

3. Кривые второго порядка

Уравнение если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.

Если В=0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай.

Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение приводим к одному из следующих канонических видов:

1. – линии эллиптического типа:

– эллипс с центром полуосями а и b.

Если то уравнение запишется в виде

– окружность с центром радиуса R.

2. – линии гиперболического типа:

– гипербола с центром вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.

– сопряженная гипербола с центром вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.

3. – линии параболического типа.

Здесь возможны четыре случая:

либо – параболы с вершиной , где .

В первом случае – ось симметрии параллельна оси , во втором –

Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.

Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи:

1) :

– точка .

– мнимый эллипс.

2) : или

– пара пересекающихся прямых:

3) : или – пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.