Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные величины описательной статистики.

2. Назовите основные меры связи двух переменных и дайте их интерпретацию.

3. С помощью каких команд пакета SPSS вычисляются основные характеристики описательной статистики?

4. С помощью каких команд пакета SPSS вычисляются основные меры связи?

Практическая часть.

Задание 1.

Данные таблицы 1 (приложение 1) представляют собой оценки 18 взрослых людей в тесте на определение коэффициента интеллекта IQ. Для этих данных найти значения всех квартилей, двух процентилей Р_Р1 и Р_Р2 (Р₁ и Р₂ заданы в таблице 1); сумму, моду, медиану и среднее; дисперсию, стандартное отклонение, максимальное и минимальное значения с помощью команд пакета SPSS .

Задание 2.

Исследователь изучает связь двух типов умственных способностей учеников неполной средней школы: абстрактного и вербального мышления. Разработаны 2 теста (оценки в обоих тестах носят количественный характер): для измерения склонности к абстрактному мышлению (Х) и к вербальному мышлению (Y). Оба теста были предложены 12 школьникам младшего класса неполной средней школы. Результаты 12 учащихся представлены в таблице 2 (приложение 1). По экспериментальным данным найти:

1. Коэффициент корреляции Пирсона с помощью соответствующей команды пакета SPSS.

2. Построить диаграмму рассеяния данных.

3. Сделать вывод относительно типа линейной связи между X и Y и обосновать его.

Задание 3.

Определить степень линейной связи между переменными Х и Y с помощью точечного бисериального коэффициента корреляции, если переменная Х характеризует исключение из колледжа (исключен – 1; остался – 0); а переменная Y характеризует оценку интеллекта IQ Стенфорда-Бине. Данные брать из таблицы 3 (приложение 1). Расчет произвести вручную, используя пакет SPSS для вспомогательных вычислений.

Задание 4.

Исследователь изучает связь успеваемости группы учащихся 5-го класса со способностью к абстрактному мышлению. Показатель успеваемости учащихся (Х) определяется путем ранжирования средних оценок учащихся в группе, показатель абстрактного мышления (Y) есть оценки в тесте на способность к абстрактному мышлению. Результаты 8 учащихся представлены в таблице 4 (приложение 1), причем по переменной Х ранжирование уже произведено. По экспериментальным данным определить:

1. Ранговые оценки переменной Y.

2. Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и τ Кендалла вручную и с помощью соответствующих команд пакета SPSS.

3. Сделать вывод относительно типа линейной связи между X и Y и обосновать его.

Примеры выполнения заданий.

Задание 3. Наблюдения за 9 подростками по переменным «Рост» (Х) и «Пол» (Y) приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер испытуемого	Рост в см, Х	Пол (1 - м., 0 - ж.), Y
1	150	1
2	170	0
3	160	1
4	165	1
5	140	0
6	183	1
7	157	0
8	152	0
9	163	1

Определить наличие линейной связи между переменными «Рост» (Х) и «Пол» (Y).

Решение. Так как измерения переменной Х (рост) сделаны по шкале отношений, а измерения переменной Y (пол) сделаны в номинально-дихотомической шкале, то для определения наличия линейной связи между данными переменными необходимо использовать точечный бисериальный коэффициент корреляции r_pb. Коэффициент r_pb вычисляется по формуле

,

где - среднее значение по переменной Х объектов, имеющих 1 по переменной Y;

- среднее значение по переменной Х объектов, имеющих 0 по переменной Y;

- исправленное среднеквадратическое отклонение всех значений переменной Х;

n₁ – число объектов, имеющих 1 по переменной Y;

n₀ – число объектов, имеющих 0 по переменной Y;

n – общий объем выборки, n = n₁ + n_0.

Проведем промежуточные вычисления.

n₁ = 5, n₀ = 4, n = 9.

; .

Так как , а , то .

Вычисление величин удобно проводить на ЭВМ с использованием соответствующих команд пакета SPSS.

Подставим найденные значения в формулу для коэффициента r_pb.

.

Таким образом, существует лишь очень слабая линейная связь между ростом и полом у обследованных подростков.

Задание 4. 12 учащихся ранжируются экспертом по их отношению к себе (переменная Х) и к другим учащимся (переменная Y). Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 2

Номер учащегося	Ранги по переменной Х	Ранги по переменной Y
1	2	6
2	8	5
3	12	10
4	3	7
5	1	3
6	6	4
7	7	9
8	10	8
9	4	1
10	9	11
11	11	12
12	5	2

Определить силу линейной связи между переменными Х и Y.

Решение. Так как результатами измерения обеих переменных являются ранги соответствующих объектов, то измерения проведены в порядковой шкале. Значит для измерения линейной связи между переменными Х и Y можно использовать как коэффициент корреляции Спирмена r_s, так и коэффициент корреляции τ Кендалла.

а). Коэффициент корреляции Спирмена r_s в случае различных рангов вычисляется по формуле

,

где x_i, y_i – ранги i-го объекта по переменным Х и Y;

n – объем всей выборки.

Проведем промежуточные вычисления.

n = 12, , тогда

.

Таким образом, значение коэффициента корреляции Спирмена свидетельствует о довольно сильной прямой связи между переменными Х и Y.

б). Коэффициент корреляции τ Кендалла в случае различных рангов может быть вычислен по формуле

где Р – это общее число совпадений,

n – объем всей выборки.

Составим вспомогательную таблицу 3 для нахождения числа совпадений Р в данном задании. В соответствии с правилом нахождения совпадений ранги по переменной Х в таблице 3 располагаются в порядке возрастания, а номера объектов и ранги по переменной Y приписываются соответственно.

Таблица 3.

Номер учащегося	Упоряд-е ранги по Х	Ранги по пер-й Y	Совпадения
5	1	3	9
1	2	6	6
4	3	7	5
9	4	1	8
12	5	2	7
6	6	4	6
7	7	9	3
2	8	5	4
10	9	11	1
8	10	8	2
11	11	12	0
3	12	10	0
Сумма	_	_	51

Сделаем подстановку в расчетную формулу

.

Таким образом, значение коэффициента корреляции Кендалла свидетельствует о слабой прямой связи между переменными Х и Y. Так как коэффициент корреляции τ Кендалла считается более точным, то можно сказать, что между переменными, соответствующими отношению учащихся к себе и к другим учащимся наблюдается лишь слабая прямая связь.

Лабораторная работа № 2.

Тема: Однофакторный дисперсионный анализ.