Вопрос 2. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

Вынужд наз колебания, кот возн в колеб системе при действии на неё внешней, период измен силой, назыв вынуждающей силой. Рас простейший случай возникн вынужд колебаний под действием силы, измен по закону синуса или косинуса. F_вын=F₀sinωt, где F₀-амплитуда вын силы, т е её мах знач, W – цикл частота.

F_сопр+F_упр+N+mg+F_вын=ma; Проекция на ось S: F_вын - F_сопр- F_упр= ma;

m(d²S/dt²)= -r(dS/dt)-RS+F₀sinωt/:m ; d²S/dt²= -r/m; dS/dt-(R/m)S+(F₀/m)sinωt

d²S/dt²+2β(dS/dt)+ω²₀S=f₀sinωt – неоднородное диф уравнение 2 порядка для вынужд колеб.

Оно отл от одн ур-я наличием члена не зав от S: f₀sinWt. Общее решение S(t) такого Ур-я равно сумме общего реш S₁(t) и частному решению S₂(t). Общее решение без правой части мы уже получали: S(t)=S₁(t)+S₂(t), S₁(t)= A₀e^-βtcos(ω₀t+φ₀). Оно соотв своб колебаниям (затух), за достаточно большой промежуток врем своб колеб затухли и ост только 2-ое слагаемое. Те ф-ция S(t)=S₂(t) явл частным решением, описыв вынужд колеб в сл виде: S₂(t) =Аcos(ω₀t+φ₀).

Можно показать, что амплитуда изменяется по формуле: А=F₀/m√(ω²₀+ω²)²+4βω²

При действии на систему вын силы F_вын, возн вынужд колеб, описыв ур-ем. Вын колеб предст собой гарм колебания с амплитудой А той же частоты, кот соотв изменению вынужд силы. Из формулы видно, что А зависит от соотн частоты собств колебаний ω₀ и частоты изм вын силы ω. Кроме того, амплит зав также от F₀ и β - коэф затух.

Зав-ть А от частоты для разл значений β.

А=F₀/mω²₀. Это относится к сост, когда св колеб практ затухли. При ω→∞ амплитуда асимптотически приближается к нулю. Если W₀ и β заданы, то амплитуда вынужд колебаний им мах значение при некот опред частоте вынужд силы, назыв резонансом. Частота вын силы, при кот наст резонанс наз резонансной, а амплитуда – резонансной А. Для нахождения частоты ω_рез нужно из формулы найти мин выр-я, стоящего под знаком корня. Продиф по ω, приравняем к нулю, итог ω_рез=√ ω²₀-2β²

Автоколебания.

Колеб в сист могут поддерж даже при сил сопротивления. Если на сист период оказ внешнее вод-е (вын колеб). Это вн вод-е не зав от самой колеб сист, в то же время, как А и W вын колеб зависимы от этого вн воз-я, однако, сущ такие колеб системы, кот сами регул период восполнение затрач энергии, поэтому могут колеб длит время. Автоколеб наз незатух колеб, сущ в колеб системе при отсутствии переем внеш возд-я, а сами сист автоколеб. Автоколеб систему можно представить 3 осн элементами (источник, регулятор, колеб система + канал обр связи). Колеб система каналом обр связи возд на регулятор, информируя его о сост сист. Некот биол системы явл автоколеб (сердце, легкие)

Вопрос 3. Сложные колебания. Теорема Фурье.

Всякое сложное колеб может быть предст в виде суммы гарм колебаний, частота кот равна частоте этого колебания. Теорема Фурье

S(t)=A₀+A₁cos(ω₁t+φ₀₁)+A₂cos(ω₂t+φ₀₂)+….

Цикл частота: ω₁=2π/T, где Т – период сл колеб. ω₂=2ω₁, ω₃=3ω₁… и тд

Амплитуды гармоник А₀, А₁, А₂… А_n опред по спец формулам (на ЭВМ из-за сложности): сов-ть гармоник, предст графически в осях амплитуды и частоты или цикл частоты, наз спектром сл колеб. В общем случае он является суммой гарм колеб S₁(t) и S₂(t). S(t)= S₁(t)+S₂(t), если S(t)=4sin((π/2)t)+1-sin(4πt).