10. Формула повної ймовірності та формула Байєса.

Нехай з даним дослідом пов’язана повна група несумісних подій Н₁,...,Н_n. Їх ще називають гіпотезами. Їхні ймовірності відомі: Р(Н₁), Р(Н₂),…, Р(Н_n). В цьому досліді розглядається подія А, для якої відомі умовні ймовірності при кожній з гіпотез, тобто

Р_Н1(А),..., Р_Нn(А). Потрібно знайти ймовірність події А (кажуть повну ймовірність події А). Р(А)=Р(Н₁)Р_Н1(А)+ Р(Н₂)Р_Н2(А)+…+ Р(Н_n)Р_нn(А) – формула повної ймовірності.

Р_А(Н_к)= - формула Байєса

(рахує ймовірність гіпотези Н_к при умові, що сталась подія А)

11. Повторні випробування та формула Бернуллі.

Нехай проводиться n незалежних однакових дослідів – повторні випробування. В кожному з них спостерігається одна і та ж подія А. Відома ймовірність події А в одному досліді. Треба знайти ймовірність того, що подія А появиться рівно k разів в цих n дослідах (0≤ k ≤ n). Ця ймовірність позначається Р_n(k).

P_n(к)=C^k_n p^k q ^{n - k} – формула Бернуллі (q=1-p – ймовірність протилежної події).

12. Наближені формули до формули Бернуллі.

Фомула Пуассона

Якщо n-дуже велике, k-мале порівняно з n, р теж дуже мале, тоді справедлива формула Пуассона:

Р_n(к)≈ , де =n*p

Локальна формула Лапласа

Коли п –дуже велике, а пр . Тоді Р_n(k) ≈ , де

, .

Інтегральна формула Лапласа

Позначимо Р_n(k₁,k₂) ймовірність того, що подія А станеться в n випробуваннях k разів, де k₁≤k≤k₂. Тоді Р_n(k₁, k₂)≈ Ф(х₂) – Ф(х₁)

Ця формула використовується, коли np близьке до k₁ і k₂ .

, ,

13. Випадкова величина. Функція розподілу та її властивості.

Величина Х називається випадковою величиною (випадковим розподілом, розподілом), якщо в результаті досліду вона може набувати різних числових значень в залежності від випадку.

Для будь-якого дійсного числа t можна розглядати подію Х< t і знаходити ймовірність цієї події: Р(Х<t) -- ймовірність того, що Х<t. При різних t ймовірності будуть різні, тобто, отримаємо функцію від t, що називається функцією розподілу випадкової величини:

F(t)=F_Х(t)=P(Х<t) – означення функції розподілу випадкової величини Х.

Властивості функції розподілу (випливають з властивостей ймовірностей подій)

1.Функція розподілу зростає на R.

2. 0 ≤ F(t) ≤ 1.

3. F (- ∞) = .

4. F (+ ∞) = .

5. Функція розподілу неперервна зліва в усіх точках дійсної прямої = .

14. Дискретна випадкова величина. Закон розподілу, полігон, функція розподілу.

Випадкова величина Х називається дискретною, якщо всі її можливі значення можна пронумерувати. Тоді їх скінченна кількість або стільки, скільки натуральних чисел.

Закон (ряд) розподілу дискретної випадкової величини – це правило, яке всім можливим значенням випадкової величини ставить у відповідність їх ймовірності. Деколи задається формулою, деколи, якщо кількість значень скінченна, задається таблицею:

Х	х1	x2	.......
Р	p1	p2

Графік закону розподілу називається многокутником або полігоном розподілу.