36. Оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія. Їх властивості.

Оцінка дисперсії при відомому математичному сподіванні

Нехай МХ = а – відоме число і DX – скінченна (невідома).

=

Властивості. а) незміщена.

Доведення. = .

2) сильно конзистентна.

Виправлена дисперсія позначається і дорівнює .

Виправлена дисперсія вже є незміщеною оцінкою дисперсії, крім того, вона залишається сильно конзистентною, бо поправка при .

37. Емпірична функція розподілу. Емпіричний розподіл. Кумулята, полігон, гістограма.

Нехай вибірка розподілу X з функцією розподілу F(t).

(Нагадування: F(t)=P(X<t). )

Означення. Емпіричною функцією розподілу називають таку функцію F^*_n(t), яка визначає для кожного t відносну частоту події (Х<t) на основі вибірки, тобто F^*_n(t) = , де: – кількість значень вибірки менших за t. Це оцінка функції розподілу: = F^*_n(t).

Властивість. При кожному значенні t емпірична функція розподілу є незміщеною і конзистентною оцінкою значення функції розподілу F(t), як оцінка ймовірності.

Графік дискретного варіаційного ряду називається полігоном розподілу.

Для оцінки щільності f(t) розподілу Х ділимо відносні частоти на довжини проміжків

f ^*_n(t) = , щоб отримати значення щільності відносних частот на проміжках. Графік f ^*_n(t) називається гістограмою . f ^*_n(t) =

Якщо заданий тільки інтервальний варіаційний ряд, то ми можемо обчислити значення емпіричної функції розподілу F^*_n(t) тільки на кінцях проміжків: F^*_n(а₀), F^*_n(а₁),... Наносять ці точки на графік та сполучають їх відрізками. Ця ламана називається кумулятою.

38. Емпіричні оцінки параметрів розподілу та їх властивість.

. Вибіркове середнє значення:

.

Вибіркова дисперсія:

, або, якщо розписувати першу формулу дисперсії отримаємо: .

Ця оцінка має позначення . Це приклад оцінки дисперсії при невідомому математичному сподіванні, якщо відомо що МХ і DХ скінченні.

=

Властивості. а) оцінка зміщена (погано), але асимптотично-незміщена.

=

= , але

при , тобто є асимптотична незміщеність оцінки;

б) сильно конзистентна: з імов.1

Вибіркове середнє квадратичне відхилення: .

Вибіркові початкові моменти : то .

Вибіркові центральні моменти, аналогічно як дисперсія , , .

39. Метод моментів для побудови оцінок.

Метод моментів застосовується коли відомий тип розподілу, але невідомі його параметри .

Кілька вибіркових початкових моментів прирівнюють до відповідних теоретичних початкових моментів, обчислених для даного типу розподілу, позначивши невідомі параметри . (Теоретичні початкові моменти будуть залежати від невідомих параметрів.)

(неперервний розп.) (дискр. розп.)

...

.

Отримаємо систему k рівнянь , з яких знаходимо невідомі через .

Можна деякі початкові моменти ( ) заміняти на відповідні центральні моменти ( ), бо вони виражаються через початкові: , і для багатьох типів розподілів дисперсія вже виражена через параметри: для нормального , для рівномірного і т.д.