33. Двовимірний нормальний розподіл та його властивості.

Нехай (ксі) та - незалежні стандартні нормальні розподіли N(0;1).

, , -- числа.

Тоді (X,Y) – двовимірний (сумісний) нормальний розподіл. Має 6 параметрів.

, , ,

( (незалежність) і , і , аналогічно ).

Щільність двовимірного нормального розподілу має вигляд (без доведення):

Властивості нормальних розподілів

Якщо X і Y нормальні розподіли, то це тоді і тільки тоді, коли (X,Y) – двовимірний нормальний розподіл.

Якщо X і Y нормальні розподіли та , то X і Y – незалежні. Отже, для нормальних розподілів всі поняття слабкості зв'язку співпадають. Доведення. Якщо , то щільність

f(x,y) розіб’ється на добуток щільностей, а це означає, що розподіли незалежні.

Якщо Х і Y нормальні, то найкраще наближення Y через X є лінійним:

, .

34. Означення вибірки, статистики, оцінки параметра, міри розсіювання параметра. Теорема про міру розсіювання.

Будь-яку функцію h задану на вибірках будемо називати статистикою:

h( , ,…, ) -- статистика.

Оцінкою параметра називається така статистика h(х), що приблизно дорівнює . Позначають =h(x). Для одного і того ж параметра можна запропонувати багато оцінок. − міра розсіювання оцінки відносно параметра .

Теорема. Серед усіх оцінок з однаковою дисперсією найменшу міру розсіювання відносно мають оцінки, в яких математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру : .

35. Означення незміщеної, асимптотично незміщеної, конзистентної та ефективної оцінок. Оцінки

ймовірності події та середнього значення випадкової величини. Їх властивості.

Оцінка називається незміщеною(незсуненою) оцінкою параметра , якщо .

Властивість незміщеної оцінки. Міра розсіювання незміщеної оцінки відносно параметра це дисперсія цієї оцінки: .

Незміщену оцінку параметра  називають його найкращою незміщеною оцінкою (ефективною оцінкою), якщо вона має мінімально можливу дисперсію: , тоді, згідно теореми, буде найменша можлива міра розсіювання.

Послідовність оцінок називається асимптотично-незміщеною послідовністю оцінок параметра , якщо .

Послідовність оцінок називається конзистентною (змістовною) послідовністю оцінок параметра , якщо для будь-якого .

Оцінка ймовірності події

Нехай в n випробуваннях подія А відбулася k разів. Треба оцінити ймовірність події А: p=P(A).

Розглянемо таку оцінку – відносну частоту події А.

Властивості. а) Ця оцінка незміщена.

Доведення. k – випадкова величина, має розподіл Бернуллі. Mk=np, Dk = npq, М _n(A)=M k/n=p.

б) Ця оцінка конзистентна і, навіть, сильно конзистентна. Це випливає із закону великих чисел: з імов.1.

Вправа. Знайти міру розсіювання _n відносно р, тобто D_n .

Оцінка математичного сподівання

Припустимо, що існує МХ = а – число.

Розглянемо оцінку математичного сподівання: - середнє арифметичне.

Властивості. а) оцінка незміщена.

Доведення. .

б) конзистентна і, навіть сильно конзистентна. Це також випливає із закону великих чисел.