2.3. Нелінійні алгебраїчні та трансцендентні моделі

У попередньому пункті вже йшлося про знаходження власних значень матриць через розв’язок нелінійного характеристичного рівняння. До нелінійних рівнянь або систем приводять розрахункові задачі міцності, коли характер зв’язку між деформаціями та напруженням відмінний від закону Гука і має нелінійний характер (зони пластичності та текучості). Розглянемо приклад, як побудувати математичну модель для розрахунків стержня.

2.3.1. Задача про розмір критичної сили для стрижня

Нехай потрібно визначити розмір критичної сили, при якому стрижень утрачає стійкість, якщо один кінець стрижня закріплений, а інший може переміщатися у вертикальному напрямку

P

Повзун

L

Відомо, що при значенні P, більшому деякого критичного значення, прямолінійне положення стержня нестабільне, рівновага є хитливою. При стійкому положенні рівноваги стержень має прогнуту форму. Нас цікавить критична сила, після якої наступає втрата стійкості.

Будемо розглядати побудову математичної моделі задачі при умовах, що не враховується явище укорочення стержня в результаті стиску і можливе непружнє поводження матеріалу стержня.

Величина критичної сили в цьому випадку визначається відомим із довідника по опору матеріалів рівнянням

д е J - осьовий момент інерції перетину, P - критична сила,,E - модуль пружності, L - довжина стержня.

Введемо позначення x= P/(EL) L. Тоді рівняння, що описує задачу приймає вигляд

x- tg x =o.

Це вже звичний вигляд нелінійного рівняння, знайомого усім із шкільної лавки. Математична модель побудована. Далі наступає етап вибору підхожого методу рішення і реалізація методу на ЕОМ.

2 .3.2. Корені нелінійних рівнянь і систем

Звичайно нелінійні рівняння поділяють на алгебраїчні і трансцендентні рівняння, хоча вони часто вирішуються тими самими методами.

Алгебраїчним рівнянням з одним невідомим називають рівняння вигляду:

f(x) = a_n xⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀=0.

Для алгебраїчних рівняння існує ряд тверджень, що дозволяють визначити число їхніх коренів і межи.

Алгебраїчне рівняння порядку n має n коренів, дійсних або комплексних. Якщо всі коефіцієнти рівняння дійсні, то комплексні корені утворять комплексно-сполучені пари. Число позитивних дійсних коренів дорівнює (або менше на ціле число) числу змін знаків у послідовності коефіцієнтів а_i. Число негативних дійсних коренів дорівнює (або менше на ціле число) числу змін знаків у послідовності коефіцієнтів а_i при заміні x на -x . Якщо добуток значень нелінійної функції f(x) на кінцях інтервалу менше нуля, то усередині цього інтервалу є непарна кількість коренів. Якщо такий добуток більше нуля, то є парне число коренів усередині інтервалу або їх узагалі немає. Якщо добуток менше нуля, а похідна від функції не змінює знак на аналізованому відрізку, то є один корінь.

Нелінійні рівняння, що містять тригонометричні функції або інші спеціальні функції, наприклад lg або exр, називаються трансцендентними.

Методи рішення нелінійних рівнянь такого типу діляться на прямі й ітераційні. Перші дозволяють знайти рішення безпосередньо за допомогою формул і завжди забезпечують одержання точного рішення. Відомим прикладом такого роду є формула коренів квадратного рівняння. У ітераційних методах задається процедура рішення у вигляді багатократного застосування деякого алгоритму. Отримане рішення завжди є наближенним, хоча може бути як завгодно близьким до точного. Ітераційні методи найбільш зручні для реалізації на ЕОМ і тому докладно розглядаються. Вважається, що розв'язування завдання полягає в пошуку дійсних коренів (нулів) рівняння f(x) =0 . Хоча подібні рівняння також можуть мати комплексні корені, засоби їхнього пошуку розглядаються тут тільки для алгебраїчних рівнянь.

Також як і для лінійних рівнянь, для цього класу задач може виникнути втрата точності при реалізації методів на ЕОМ. Залежить це від властивостей розв'язуваних рівнянь. Інженерам варто знати, що поряд із традиційними для нелінійних рівнянь проблемами збіжності до рішення з деякого наближення і відділенню коренів, актуальні також питання стійкості, коректності і достовірності отриманих на машині рішень.

Рішення рівняння вважає стійким, якщо малим змінам у вихідних даних відповідають малі зміни в рішенні. Для нелінійних рівнянь існує поняття локального числа обумовленості функції.

М=1/min , a<x<b.

и числа обумовленості задачі:

m = min , a<x<b

Чим більше значення m на відрізку, де знаходиться корінь, тим гірше обумовленість задачі і є велика можливость не одержати рішення. Аналогічні зазначення вводяться і для систем нелінійних рівнянь.