Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Моделювання.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
606.72 Кб
Скачать

2.1.5. Вправи

Вправа 1. Див. умови приклада 1 і 2. Вирішити й одержати рішення. Для обчислення визначників застосувати табличний процесор. Результати роботи зберегти у файлі Впр. 1. Порівняти отримані рішення з приведеними.

Вправа 2. Наведений на малюнку кривошипно-шатунний механізм описується рівняннями

+ - = , при i=1,2,3.

Значення для а задаються формулами:

= ,

Спроектувати пристрій, що відповідає наступним умовам:

Вариант

i

Si

Fi (в градусах)

1

1

1,0

20

2

1,2

45

3

2,0

60

2

1

0,9

30

2

1,1

45

3

1,9

60

3

1

1,1

20

2

1,3

45

3

2,1

60

4

1

1,1

30

2

1,4

45

3

2,2

60

5

1

1,2

30

2

1,5

45

3

2,2

60

6

1

1,0

30

2

1,2

45

3

2,0

60

7

1

1,1

30

2

1,4

45

3

2,0

60

Примітка. Для побудови математичної моделі записати тричі рівняння, що описує роботу механізму і знайти К1,К2,К3 . Провести аналіз отриманих рішень. Для знаходження рішення скористатися табличним процесором і результати роботи зберегти у файлі Впр2_вар.

2.2. Моделі, що зводяться до задач про власні значення

Цілий ряд інженерних задач зводиться до розгляду систем рівнянь, що мають єдине рішення лише в тому випадку, якщо відомо значення деякого вхідного в них параметра. Цей особливий параметр називається власним значенням системи. З задачами про власні значення інженер зштовхується в різноманітних ситуаціях.

Так, для тензорів напруг власні значення визначають головні нормальні напруги, а власними векторами задаються напрямки, пов'язані з цими значеннями.

При динамічному аналізі механічних систем власні значення відповідають власним частотам коливань, а власні вектори характеризують моди цих коливань.

При розрахунку конструкцій власні значення дозволяють визначити критичні навантаження, перевищення яких призводить до втрати стійкості.

2.2.1. Власні вектори і власні значення матриць

Вектор Х 0 називається власним вектором матриці А, якщо ця матриця перекладає вектор Х в вектор л Х, тобто

А х = n x

Число n називають власним значенням або характеристичним числом матриці А, що відповідає даному власному вектору Х.

Рівняння (1) має ненульове рішення тоді і тільки тоді, коли визначник матриці (А - nЕ) дорівнює нулю: det(А-nЕ) = 0. Цей визначник називають характеристичним визначником матриці А, а рівняння називають характеристичним рівнянням матриці А. У розгорнутому виді це характеристичне рівняння записується в такий спосіб :

(- л) (-л) (-л) +...+с (-л)+с =0

Поліном, що стоїть в лівій частині рівняння зветься характеристичним поліномом матриці А. Коеффіцієнт с дорівнює сумі діагональних елементів матриці А. Коеффіцієнт с є сума головних мінорів другого порядку матриці А Взагалі, коефіцієнт сk є сума усіх головних минорів к-го порядку матриці А. І, нарешті, вільний член сn дорівнює визначнику матриці А. Це нелінійне алгебраїчне рівняння n-го ступеня щодо сi-х і, отже, має, принаймні, один дійсний або комплексний корінь. Нехай л1, л2,…, л , m n, різноманітні корені рівняння. Ці корені будуть власними значеннями матриці А, а сукупність усіх власних значень звуться спектром матриці А. При підстановці кореня л = л у рівняння мають

(А- л Е) х = 0

Тому що визначник системи дорівнює нулю, то ця система явно має ненульові рішення, які є власними векторами матриці, що відповідають власному значенню л1.

Якщо корені характеристичного рівняння різноманітні, то кожному власному значенню відповідає з точністю до коефіцієнта пропорційності один і тільки один власний вектор. Власні вектори матриці, що відповідають попарно різноманітним власним значенням, лінійно незалежні.

Матриці, що зустрічаються в інженерних розрахунках, часто бувають симетричними. Тому важливо відзначити, що власні значення симетричної дійсної матриці є дійсними.