Розділ 2. Математичні моделі інженерних задач

Досвід дослідження різноманітних прикладних задач показав, що інженеру випадає багаторазово вирішувати наступні математичні задачі:

• розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

• розв'язання систем алгебраїчних або трансцендентних рівнянь;

• розв'язання задач на власні значення;

• розв'язання звичайних диференціальних рівнянь;

• розв'язання диференціальних рівнянь у часткових похідних;

• розв'язання задач оптимізації;

• обробки масивів числових даних.

2.1. Лінійні алгебраїчні моделі

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь виникають у задачах опрацювання даних, при дискретизації лінійних диференціальних задач методом кінцевих елементів, розрахунку електричних ланцюгів і складних гідравлічних систем, у деяких моделях економічних задач, у механічних системах з декількох твердих тіл (шарнірів, гнучких зв'язків і стрижнів), на які діє просторова система сил і т.п. Роздивимося один із прикладів побудови математичної моделі.

2.1.1. Задача про розподіл токів у електричному ланцюзі

Багато проблем у різноманітних областях науки і техніки призводять до розв'язання однієї і тієї ж математичної моделі - розв'язанню системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Роздивимося на окремому прикладі, як виникають система лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нехай потрібно визначити розподіл токів в електричній схемі без амперметра.

E1

I1 R1 I2 R2 I3 R3

E2

Опір ділянок ланцюга R1,R2,R3 і електрорушійна сила джерел току E1,E2 відомі. Позитивні напрямки токів показані на малюнку стрілками.

Д ля визначення сили току використовуємо відомі фізичні закономірності і математичні засоби. Нагадаємо перший закон Кірхгофа: алгебраїчна сума токів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю:

Д ругий закон Кірхгофа стверджує, що в будь-якому замкнутому контурі, алгебраїчна сума добутку сил токів на опори відповідних ділянок цього контуру дорівнює алгебраїчній сумі прикладеної до нього ЕДС:

Використовуючи ці закони для ланцюга можна записати:

Таким чином, отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь із невідомими I1,I2,I3.

2.1.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Як відомо, система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) може бути записана в такий спосіб: A x = b.

Система може бути сумісною (має хоча б одне рішення), несумісною (не має рішень), визначеною (має одне рішення) або невизначеною (має більше одного рішення).

Якщо матриця системи A квадратна і визначник системи det(A) відмінний від нуля, то система завжди сумісна і має єдине рішення, що може бути знайдене по формулах Крамера . Якщо - визначник системи, , …, визначники, де i-й стовпчик замінений на вектор правих частин, то рішення подається у вигляді:

, i= 1,…,N

Як уже говорилося раніше, рішення прикладних задач починається зі створення прийнятних фізичних і математичних моделей. Для їхньої побудови використовують різноманітні гіпотези. Якщо ці гіпотези вірні, то фізична модель правильно відображує закономірності прикладної задачі. Фізична модель може бути описана за допомогою математичного апарата.

При опису фізичних моделей украй рідко використовуються системи з точними вихідними даними. Найбільше типової является система:

A x = b ,

із указівкою похибки в завданні вихідних даних. Природно, що рішення цієї системи успадкує цю похибку.

Похибку в рішенні, викликану неточністю завдання вихідних даних, називають спадково.

Крім того, похибка перекладу вихідних даних в ЕОМ із десяткової системи числення в двійкову, похибка чисельного методу рішення системи і похибка машинної реалізації алгоритму може призвести до відмінності рішення, отриманого на ЕОМ, від математичного рішення СЛАР.

Таким чином, при рішенні систем лінійних рівнянь, що описують прикладні задачі, необхідно вибрати стійкий алгоритм рішення системи, оцінити похибку машинної реалізації (близькість машинного рішення до математичного) і спадкову похибку (близькість математичного рішення до фізичного).