2.4.7. Вправи

Вправа 8. З задачами про удар і коливання часто доводить зштовхуватися в аерокосмічній промисловості і на транспорті, де є численні джерела порушення коливань. Усунення ударних і вібраційних навантажень має винятково велике значення для забезпечення нормальної роботи приладів і систем керування і створення комфортних умов для екіпажа.

Звичайно для захисту від надмірних вібрацій у конструкції транспортного засобу вводять пружні опори постачені пристроями, що забезпечують деяке демпфування коливань. Такі опори різко зменшують частоти власних коливань конструкції, забезпечуючи їхню істотну відмінність від частот силових чинників , що обурюють. Таке рішення ефективно як засіб захисту від стаціонарних коливань, проте у випадку ударних навантажень податливість опор може призвести до неприпустимо великих зсувів.

Відомо, що від цієї хиби вільні системи підвіски, у яких використовуються пружини із симетричною нелінійною характеристикою, жорсткість котрих пргресивно збільшується при великих відхиленнях від ”робочої точки”.

Пристрій, показаний на малюнку , складається з маси m , пов'язаної з жорсткою стінкою через пружину постійної жорсткості k, демпфер із коэфициентом демпфировання c і пружиною з нелінійною характеристикою, що створює силу опору, рівну добутку постійної k* на зсув у третьому ступені.

x

с

m

к

к^*

Тоді рух розглянутої системи описується лінійним диференціальним рівнянням :

mx + сx + kx +k*x³ = 0 ,

і традиційні ”точні” методи не дозволяють знайти залежність зсуву х від часу. Тому для рішення зазначеного рівняння прийдеться удатися до чисельного методу.

Нехай параметри системи имеют наступні значения:

K= 2,0 н / cм ; k* = 2,0 н/см³ с = 0,15 н c/ см ; m = 1кг, а початкові умови задані у виді

x(0) = 10 см , x ^‘ (0) = 0 .

Проведемо моделювання руху розглянутої механічної системи в інтервалі часу 0 t  1 c.

Щоб вирішити цю задачу одношаговим чисельним методом, необхідно звести диференціальне рівняння другого порядку до двох диференціальних рівнянь першого порядку. У результаті отримаєм:

Щоб довжина виражалися в сантиметрах, змінимо розмірність маси m =0,01 Н с2/див. Вирішити задачу методом Рунге-Кутта.

Вправа 9. Тіло, зображене на малюнку, рухається по плоскій поверхні з тертям, що обумовлює демпфирування коливань. Його маса m=4,5 кг, жорсткість пружини k=175 H/м, коефіцієнт тертя f=0,3. Розрахувати рух тіла в інтервалі часу 0<=t<=2 із початковими умовами x(0)=7,5см, x ^‘ (0)=0. Розрахунок виконати по методу Рунге-Кутта, результат навести графічно.

X(t)

K m

Вправа 10. Диференціальне рівняння згибної лінії бруска з постійним поперечним перетином має вигляд

, при початкових умовах y(0)=0, y^’(0)=0 і значеннями L=1м, PL²/EJ=2.

Вправа 11. Матеріальна точка масою m закріплена на кінцях однорідного стрижня і чинить вільні коливання. Промоделювати рух цієї системи і виконати розрахунок для повного циклу коливань.

Примітка. Скористатися наступним рівнянням руху, де незалежної перемінної є час:

Обчислити задачу методом Рунге-Кутта.

1¹Студентам впевнитися у наведеному результаті самостійно.