2.3.4. Вправи

В права 6. При хімічній реакції CO + 0,5O ₂ CO₂ відсотковий уміст диссоціїрованного моля CO₂ визначається рівнянням (P/K - 1) x3+ 3 x - 2 = 0, де P - тиск, K - константа рівноваги, що залежить від температури. Знайти x при

K = 1. 648, P = 1 ат
K = 1. 832, P = 1,1 ат

Примітка: у даному випадку, з огляду на умову задачі, нас цікавлять лише дійсні корені рівняння.

Вправа 7. Визначення коренів характеристичного рівняння дозволяє з'ясувати, як впливає збільшення коефіцієнта підсилення на відносну усталеність керуючої системи. Тому що позитивні дійсні частини коренів характеристичного рівняння системи автоматичного регулювання відповідають експоненціальному розвитку перехідних процесів, те їх варто уникати за будь-яку ціну. Для системи автоматичного регулювання

характеристичне рівняння має вигляд:

4D³ + 12D² + 6D + 1 = 0
12D³ – 19D² –5D – 2 = 0
4D³ + 9D² – 2D + 3 = 0

Примітка: спочатку, знайти інтервали існування хоча б одного дійсного кореня, використовувати теорему про різні знаки функції на кінцях інтервалу, усередині якого є корінь; потім написати BASIC -програму для визначення цього інтервалу і знайти дійсний корінь одним з описаних вище методів; розділити на цей корінь багаточлен, тим самим понизив ступінь нелінійного рівняння; для утвореного квадратного рівняння знайти комплексні корені по точних формулах.

2.4. Моделі, що зводяться до диференціальних рівнянь.

Диференціальними називаються рівняння, що містять одну або декілька похідних. У залежності від числа незалежних перемінних і, отже, типу вхідних у рівняння похідних диференціальні рівняння діляться на звичайні, (що містять одну незалежну змінну і похідні по ній), і рівняння в часткових похідних, (що містять декілька незалежних змінних і похідні по ним, що звуться частковими). Інженеру дуже часто припадає зштовхуватися з ними при розробці нових виробів або технологічних процесів, тому що велика частина законів фізики формулюється саме у виді диференціальних рівнянь. По суті, будь-яка задача проектування, пов'язана з розрахунком потоків енергії або прямування тіл, у кінцевому рахунку зводиться до рішення диференціальних рівнянь. На жаль, лише дуже деякі з них удасться вирішити без помочі обчислювальних машин. Тому чисельні методи рішення диференціальних рівнянь грають важливу роль у практику інженерних розрахунків.

Інтерес із погляду математичних моделей викликають механічні, електричні системи і системи автоматичного регулювання. Ці системи описуються тими самими математичними рівняннями .

2.4.1. Математичні моделі механічних систем

Поступальний механічний рух описується диференціальним рівнянням:

де x(t) - переміщення центру маси; m - маса тіла; B - коэфіцієнт опору руху; K - постійний коефіцієнт; f(t) - зовнішня сила.

Р ассмотрим на примере вывод уравнений математической модели для системы:

де вантаж масою m підвішений до вільного кінця пружини П. Коефіцієнт жорсткості для пружини q і пристрій, що демпфірує, Д створює силу опору руху R, пропорційну швидкості руху вантажу.

R = -Bv,

де B - постійний коефіцієнт, v = dx/dt - швидкість руху вантажу. Знак мінус у рівнянні показує, що сила R спрямована убік, протилежну швидкості.

Направимо вісь x по вертикалі униз (уздовж осі пружини). Візьмемо початок відліку в точці статичної рівноваги вантажу. За початкові умови руху в цьому випадку приймемо:

t = 0, x = x₀ = a, x^’ = x^’₀ = b.

При русі пружина одержує подовження D = D_ст + x, де D_ст - подовження пружини при статичній рівновазі (x = 0,x' = 0), а x - переміщення вантажу.

Сила пружини F визначається по формулі.

F = -q(D_ст + x).

Знак мінус указує, що сила спрямована вгору по вертикалі.

Сила опори руху R, спрямована убік, протилежний напрямку руху .

Вага вантажу визначається по формулі P = mg. Тоді диференціальне рівняння руху центру маси вантажу під дією ваги і при існуючому опорі руху запишеться m x^’’ = , де під знаком суми знаходяться проекції k-й сили на вісь x. У нашому випадку на центр маси діють сила F, R, P. Тоді одержуємо диференціальне рівняння руху вантажу

m x^’’= P +F + R,

або у розгорнутому вигляді

m x^’’ = mg - qD_ст – qx –Bv.

З огляду на те, що в статичній рівновазі (x=0) до вантажу прикладені дві сили P і F = - qD_ст і повинна виконуватися mg - qD_ст = 0, та з огляду на те, що v = x' остаточно здобуваємо

m x^’’ = -qx – Bx^’

або