Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра 10 классс.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2025

Размер:

779.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Функция , её свойства и график

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме .

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная.

Функция нечётная: tg(−x)=−tgx для всех х из области определения. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая, с наименьшим положительным периодом Т = π, т.е. tg(x+πk) = tg x, k Z для всех х из области определения.

Нули функции: tg x = 0при
tg x > 0 для всех
tg x < 0 для всех
Функция возрастает на промежутках:	,k

Функция , её свойства и график

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.

3) Функция нечётная: для всех из области определения.

4) Функция периодическая, с наименьшим положительным периодом Т = , т.е. ctg(x+πk)=ctg x, k∈Z для всех х из области определения.

5) Нули функции: ctg x = 0 при
6) ctg x > 0 для всех
ctg x < 0 для всех
Функция убывает на каждом из промежутков

Тригонометрические уравнения.

Арккосинус. Решение уравнения cos t=α.

Определение. Если |a|≤1, то (арккосинус a) — это такое число, из отрезка косинус которого равен a.

Теперь можно сделать общий вывод о решении уравнения cost = a:

Если |a|≤1, то уравнение cost = a имеет решения:

Уравнение не имеет корней, если .

Правда, в трёх случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

Частные случаи

Пример 1. Вычислить: а) ; б) .

Решение:

а) Положим . Тогда и . Значит, , поскольку и . Итак, .

б) Положим . Тогда и . Значит, , поскольку и . Итак, .

Ответ: , .

Теорема. Для любого выполняется равенство

На практике полученное соотношение удобнее использовать в следующем виде:

Пример 2. Решить уравнение .

Решение: Составим формулу решений:

Вычислим значение арккосинуса:

Подставим найденное значение в формулу решений:

Ответ.

Арксинус. Решение уравнения sin t=α.

Определение. Если |a|≤1, то (арксинус a) — это такое число, из отрезка , синус которого равен a.

Можно сделать общий вывод о решении уравнения sint = a:

Если |a|≤1, то уравнение sint = a имеет две серии решений:

Уравнение не имеет корней, если .

Правда, в трёх случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотноше-ниями:

Частные случаи

Для любого справделива формула:

Пример 1. Вычислить: а) ; б) .

Решение:

a) Положим . Тогда и . Значит, , поскольку и . Итак, .

б) Положим . Тогда и . Значит, , поскольку и . Итак,

Ответ: a) , б) .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Составим формулы решений:

Вычислим значение арксинуса: .

Подставим найденное значение в формулы решений:

Ответ: ; .

Полученные ранее две формулы для решения уравнения sint = a: можно объединить одной формулой:

При чётном n(n = 2k) из неё получается первая из выше написанных формул, а при нечётном n (n = 2k+1) — вторая из написанных выше формул.

С помощью полученной общей формулы можно по-другому записать решение уравнения из примера 2. Для уравнения ,получаем . Это выражение можно записать иначе, выполнив следующие преобразования:

В итоге получаем .

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x=α и сtg x=α.

Определение 1. arctga (арктангенс a) — это такое число, из интервала , тангенс которого равен a.

Общее решение уравнения tgx = а имеет вид:

Для любого значения a справедлива формула:

Пример 1. Вычислить: а) ; б) .

Решение:

а) Положим . Тогда и . Значит, , поскольку и . Итак, .

б) Положим . Тогда и . Значит, , поскольку и . Итак,

Ответ: а) ; б) .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Составим формулу решений: .

Находим, что , подставив найденное значение в формулу решений, получаем: .

Ответ. .

Определение 2. arcctga(арккотангенс a) — это такое число, из интервала , котангенс которого равен a.

Общее решение уравнения ctgx = а имеет вид:

Для любого допустимого значения aсправедлива формула:

Пример 3. Вычислить: а) arcctg1; б) arcctg(-1).

Решение:

а) Положим . Тогда и . Значит, поскольку и . Итак, .

б) Положим . Тогда и . Значит, Значит, .

Ответ: а) , б) .

Уравнение ctgx = а практически всегда можно преобразовать к виду . Исключение составляет уравнение ctg x = 0.Но в этом случае, зная, что , можно перейти к уравнению cos x = 0. Таким образом, уравнения вида ctgx = а самостоятельного интереса не представляет.

Однородные тригонометрические уравнения

Цель:

ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Учитель:

Мы продолжаем изучение темы «Тригонометрические уравнения». Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения».

Определение:Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты a и .

Если cos x = 0, то sin x = 0.

– Может ли получиться такая ситуация?

– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит,cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos x:

+ .

Пример:

Разделив обе части уравнения почленнонаcosx, получим

Внимание!

Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обра-щается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая, что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Определение: Уравнение вида назы-вают однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример:sin²x + 2sinx cosx – 3cos²x = 0

Коэффициент и поэтому как и предыдущем уравнении соsх и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частейуравнения насоs²х.

Получим, tg²x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной, пустьtgx = t ,где тогда получаем уравнение

Возвращаемся к замене

Ответ. ;

Например: 3 sin²x – 4 sinxcosx + cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то + = 0

3tg²x – 4 tgx + 1 = 0

Замена: tgx = у,

3у²– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y₁ = 1 , y₂ =

tgx = 1, tgx =

tgx = 1; х = arctg1 + πk, n∈Z;
tgx =

Ответ.

Если коэффициента = 0, то уравнение примет вид2sinx cosx – 3cos²x = 0решаем способом вынесения общего множи-теля cosxза скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет видsin²x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителяsinxза скобки.

Самостоятельная работа

Решите уравнения.

Кроссворд.

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство?
Единица измерения углов?
Числовой множитель в произведении?
Раздел математики, изучающий тригонометрические функции?
Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций?
Какая из тригонометрических функций четная?
Как называется верное равенство?
Равенство с переменной?
Уравнения, имеющие одинаковые корни?
Множество корней уравнения?

Преобразование тригонометрических выражений.

Соотношение между градусной и радианной мерами угла

Определения:

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение длин сторон прямоугольного треугольника. Синус: Косинус: Тангенс: Котангенс: Синус и косинус угла определены для любого угла . Тангенс определен для всех значений угла , кроме = ( = 90º + 180º k), k = 0, 1, 2,... . Котангенс определен для всех значений угла , кроме = ( =180º ), k = 0, 1, 2,...

Периодичность

Функцииsin , cos имеютпериодT = 2 , афункцииtg иctg - периодT = : sin( + 2 ) = sin ; cos + 2 )=cos ;tg ( + ) = tg ; ctg ( + ) = ctg ;k = 0, 1, 2,... .

Формулы приведения

Вычисление значений тригонометрических функций любого угла сводится к вычислению значений тригонометрических функций острого угла по следующим правилам:

;

Некоторые значения тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества

Чётность и нечёность тригонометрических функций

Функция f называется чётной, если f f Функция f называется нечётной, еслиf f . Функция f не является чётной и не является нечётной во всех остальных случаях.

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Выражение через

Формулы, связывающие функции аргументов, из которых один вдвое больше другого:

В формулах половинного угла знаки перед радикалами берутся в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства. Каждая из формул для тангенса и котангенса справедлива только при условии, что все входящие в нее значения функций существуют.