П.6. Тригонометрические функции углового аргумента.

Возьмём угол с градусной мерой α° и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так как пока-зано на рисунке: вершину угла совместим с центром окружности (с началом системы координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучом оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с окружностью обозначим буквойM. Ординату точки M естественно считаем синусом угла α°, а абсциссу этой точки — косинусом угла α°.

Для отыскания синуса или косинуса угла α° совсем необязательно каждый раз проводить подобные построения. Достаточно заметить, что дугаAMсоставляет такую же часть длины единичной окружности, какую угол α° составляет от угла 360°. Если длину дугиAMсоставляет такую же часть длины единичной окружности, как угол α° составляет от угла 360°. Если длину дугиAM обозначить буквой t, то получим , откуда находим:

Таким образом,

Например,

Говорят, что 30° — это градусная мера угла, а — радианная мератого же угла. Вообще,

В частности,

Отсюда, в свою очередь, получаем:

Так что же такое 1 радиан? Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности.Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности.Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы получаем, что

1 рад ≈ 57,3°.

Теорема. Если a и b — катеты, c — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, то выполняются следующие равенства:

П.7.Формулы приведения.

Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение , и вообще любое выражение вида , где n – произвольное целое число, то такое выражение всегда можно привести к более простому виду, при котором под знаком тригонометрической функции будет содержаться только аргумент Соответствующие формулы обычно называют формулами приведения. Некоторые из этих формул мы вывели в п.1., говоря о свойствах синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

;

;

Используя свойства, отмеченные в п.1., можно вывести ряд других формул приведения. Например,

Формул приведения очень много. Выводить их каждый раз довольно утомительно. Можно составить таблицу формул приведения и постоянно ею пользоваться, но она громоздка. Поэтому был придуман простой и удобный способ их запоминания (мнемоническое правило). Он заключается в следующем.

1. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение или то наименование тригонометрической функции следует сохранить.

2. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение , то наименование тригонометрической функции следует изменить на родственное слово (синус – на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс - на тангенс).

3. Перед полученной функцией от аргумента надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что .

Это правило используется и в тех случаях, когда аргумент задан в градусах, т.е. когда под знаком тригонометрической функции содержится выражение , , и .

Например,

;

;

п.8. Функции у = sinx, её свойства и график. В разделе «Определение значений тригонометрических функций любого угла» мы выяснили, что поведение тригонометрических функций, и функции у = sin х в частности, на всей числовой прямой (или при всех значениях аргумента х) полностью определяется ее поведением в интервале Поэтому прежде всего мы построим график функции у = sin х именно в этом интервале. Составим следующую таблицу значений нашей функции; Отмечая соответствующие точки на координатной плоскости, и соединяя их плавной линией, мы получаем кривую, представленную на рисунке Полученную кривую можно было бы построить и геометрически, не составляя таблицы значений функции у = sin х. 1.Первую четверть окружности радиуса 1 разделим на 8 равных частей. Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов. 2.Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до . Поэтому на осиОхвозьмём отрезок и разделим его на 8 равных частей. 3.Проведем прямые, параллельные оси Ох, а из точек деления восставим перпендикуляры до пересечения с горизонтальными прямыми. 4.Точки пересечения соединим плавной линией. Теперь обратимся к интервалу . Каждое значение аргументахиз этого интервала можно представить в виде x = + φ где . По формулам приведения sin = соsφ = sin . Точки оси Ох с абcциссами + и симметричны друг другу относительно точки оси Ох с абсциссой , и синусы в этих точках одинаковы. Это позволяет получить график функции у = sin х в интервале путём простого симметричного отображения графика этой функции в интервале относительно прямой х = . Теперь, используя свойство нечётности функции у = sin х, sin ( х) = sin х, легко построить график этой функции в интервале [ π, 0]. Функция у = sin х периодична с наименьшим положительным периодом Т = 2π. Поэтому для построения всего графика этой функции достаточно кривую, изображенную на рисунке, продолжить влево и вправо периодически с периодом 2π. Полученная в результате этого кривая называется синусоидой. Она и представляет собой график функции у = sin х. Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции у = sin х, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.